[論文レビュー] Sur les espaces test pour la moyennabilité

Yousef Al-Gadid, Brice Mbombo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ポーランド群および離散的可算群におけるアメニタリティ、極端アメニタリティ、および無限大におけるアメニタリティのための普遍的テスト空間として、ヒルベルト立方体とカントール空間が果たす役割を確立している。ポーランド群がアメニタリーであるための必要十分条件として、ヒルベルト立方体への連続的作用が不変確率測度をもつことであることを証明し、Bogatyi–FedorchukおよびGiordano–de la Harpeの結果を一般化している。

ABSTRACT

We observe that a Polish group $G$ is amenable if and only if every continuous action of $G$ on the Hilbert cube admits an invariant probability measure. This generalizes a result of Bogatyi and Fedorchuk. We also show that actions on the Cantor space can be used to detect amenability and extreme amenability of Polish non-archimedean groups as well as amenability at infinity of discrete countable groups. As corollary, the latter property can also be tested by actions on the Hilbert cube. These results generalize a criterion due to Giordano and de la Harpe.

研究の動機と目的

• 離散的可算群に限らない一般のポーランド群へ、Giordanoとde la Harpeのアメニタリティ基準を一般化すること。
• ヒルベルト立方体が、一般のポーランド群のアメニタリティのための普遍的テスト空間であることを示し、BogatyiとFedorchukの結果を拡張すること。
• 非アルキメデス的ポーランド群における極端アメニタリティを、カントール空間が検出できることを確立すること。
• 離散的可算群の無限大におけるアメニタリティが、カントール空間またはヒルベルト立方体への作用を通じてテスト可能であることを証明すること。
• サミュエルのコンパクト化と普遍的最小空間上の力学系を用いて、既存のアメニタリティ基準を統一・拡張すること。

提案手法

• ポーランド群 $G$ のサミュエルコンパクト化 $\mathcal{S}(G)$ を、普遍的な動的モデルとして用いる。
• ゲルファンド＝ナイマーク双対性を適用し、$C(\mathcal{S}(G))$ を $G$ 上の右一様連続有界関数の代数と同一視する。
• 連続的作用のもとでの有限台測度による近似を用いて、ヒルベルト立方体 $I^{\aleph_0}$ 上に不変確率測度を構成する。
• $\mathcal{P}(D^{\aleph_0})$ が $I^{\aleph_0}$ に位相的に同相であるという事実を活用し、カントール空間とヒルベルト立方体の間で結果を転送する。
• 連続写像のネット $b^n: X \to \mathcal{P}(G)$ が $\|gb_x^n - b_{gx}^n\|_1 \to 0$ を満たすような「ほぼ不変」ネットを用いた、位相的アメニタリティの概念を用いる。
• ケラーの定理を適用し、カントール空間上の確率測度の空間をヒルベルト立方体と同一視することで、結果の転送を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト立方体は、離散的可算群に限らず、すべてのポーランド群のアメニタリティのための普遍的テスト空間として機能するか？
• RQ2 カントール空間は、非アルキメデス的ポーランド群における極端アメニタリティのための普遍的テスト空間か？
• RQ3 離散的可算群の無限大におけるアメニタリティは、ヒルベルト立方体またはカントール空間への作用を通じて検出可能か？
• RQ4 Giordanoとde la Harpeの古典的基準は、離散的可算群を越えて一般のポーランド群へ拡張可能か？
• RQ5 ヒルベルト立方体が失敗する場合、一般のポーランド群における極端アメニタリティのための普遍的テスト空間は存在するか？

主な発見

• ポーランド群 $G$ がアメニタリーであることと、$G$ のヒルベルト立方体 $I^{\aleph_0}$ への任意の連続的作用が不変確率測度をもつことは同値である。
• カントール空間 $D^{\aleph_0}$ は、非アルキメデス的ポーランド群の極端アメニタリティのための普遍的テスト空間である。
• 離散的可算群 $G$ が無限大においてアメニタリーであることと、$G$ がカントール空間またはヒルベルト立方体への位相的アメニタリー作用をもつことは同値である。
• Giordanoとde la Harpeによる、離散的可算群のアメニタリティをテストするカントール空間に関する結果は、非アルキメデス的ポーランド群へ拡張可能である。
• カントール空間上の確率測度の空間 $\mathcal{P}(D^{\aleph_0})$ はヒルベルト立方体 $I^{\aleph_0}$ に位相的に同型であり、動的基準の転送が可能である。
• サミュエルコンパクト化 $\mathcal{S}(G)$ は、位相群における不変測度とアメニタリティを分析するための普遍的枠組みを提供する。