[論文レビュー] Sur les transformations de contact au-dessus des surfaces

Emmanuel Giroux|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2001

Geometric and Algebraic Topology被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、球面やトーラスでないコンパクトで、連結で、向き付けられた曲面 $S$ に対して、$S$ の微分同相群の接触要素 bundle $V$ 上の接触変換群への自然な埋め込みが、経路成分上でホモトピー同値を誘導することを確立している。主な結果は、これらの埋め込みがホモトピーの 0-同値であることであり、これは連結成分の間で全単射を誘導する。この結果は、このような曲面上の接触同相群の位相に影響を及ぼす。

ABSTRACT

Let S be a compact surface - or the interior of a compact surface - and let V be the manifold of cooriented contact elements of S equiped with its canonical contact structure. A diffeomorphism of V that preserves the contact structure and its coorientation is called a contact transformation over S. We prove the following results. 1) If S is neither a sphere nor a torus then the inclusion of the diffeomorphism group of S into the contact transformation group is 0-connected. 2) If S is a sphere then the contact transformation group is connected. 3) if S is a torus then the homomorphism from the contact transformation group of S to the automorphism group of $H_1(V) \simeq Z^3$ has connected fibers and the image is (known to be) the stabilizer of $Z^2 imes \{0\}$).

研究の動機と目的

• 曲面上の向き付けられた接触要素 bundle における接触同相群のホモトピー型を特定すること。
• 曲面の微分同相とその接触要素 bundle 上への持ち上げられた接触同相との関係を調査すること。
• 球面やトーラスでない曲面に対して、微分同相群から接触同相群への自然な埋め込みが、経路成分上でホモトピー同値であることを確立すること。
• 2次元球面やトーラスの場合、接触同相群の位相が顕著に異なることから、その構造を分析すること。
• 特に標準接触構造を備えた3次元トーラスの場合に、ホモロジーへの作用と同相型の類別を通じて接触同相の位相的分類を提供すること。

提案手法

• 曲面 $S$ 上のコオリエンテッド接触要素のバンドル $V \to S$ を、タウトロジカル接触構造 $\xi_S$ を備えて構成する。
• 接触同相を、$\xi_S$ とそのコオリエンテーションを両方保存する $V$ の微分同相と定義し、群 $\mathcal{D}(V;\xi_S)$ を形成する。
• 曲面の微分同相の自然な持ち上げを用いて、$\mathcal{D}(S)$、$\mathcal{D}(S,\partial S)$、$\mathcal{D}(\mathrm{Int}\,S)$ から対応する接触同相群への包含写像を定義する。
• 接触3多様体における同相型の拡張と凸曲面理論を用いて、接触同相が曲面の微分同相の持ち上げに同相的であることを示す。
• 3次元球面の微分同相群の自明性に関するセールの定理と、厚みのあるトーラス上のタイト接触構造の分類結果を用いて、同相型を分析する。
• ホモロジーへの作用を分析し、3次元トーラスにおける接触同相群が $\mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$ に作用する際の像が、特定の部分群 $\Pi$ に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで、連結で、向き付けられた曲面 $S$ が $S^2$ や $\mathbb{T}^2$ と同相でない場合、$\mathcal{D}(S)$、$\mathcal{D}(S,\partial S)$、$\mathcal{D}(\mathrm{Int}\,S)$ から $\mathcal{D}(V;\xi_S)$、$\mathcal{D}(V,\partial V;\xi_S)$、$\mathcal{D}(\mathrm{Int}\,V;\xi_S)$ への自然な埋め込みが、経路成分上でホモトピー同値であるか。
• RQ2 標準接触構造を備えた3次元トーラスの接触同相群の構造は何か。
• RQ3 曲面の接触要素 bundle 上の接触同相は、その底面曲面の微分同相とどのように関係しているか。
• RQ4 $\pi_0\mathcal{D}(V;\xi_S) \to \pi_0\mathcal{D}(V)$ の写像の像は何か。また、それは底面曲面の位相とどのように関係しているか。
• RQ5 コオリエンテーションが接触同相の分類における役割は何か。また、ファイバー上の反転写像（antipodal map）は群構造にどのように影響するか。

主な発見

• コンパクトで、連結で、向き付けられた曲面 $S$ が球面やトーラスでない場合、自然な埋め込み $\mathcal{D}(S,\partial S) \to \mathcal{D}(V,\partial V;\xi_S)$、$\mathcal{D}(S) \to \mathcal{D}(V;\xi_S)$、$\mathcal{D}(\mathrm{Int}\,S) \to \mathcal{D}(\mathrm{Int}\,V;\xi_S)$ はホモトピーの 0-同値であり、経路成分に全単射を誘導する。
• 2次元球面上の接触同相群は経路連結である。つまり、任意の接触同相が接触同相のホモトピー族を通じて恒等写像に同相的である。
• トーラスの場合、接触同相群 $\mathcal{D}(\mathbf{T}^3,\xi)$ はホモロジーへの作用により $\mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$ に単射に埋め込まれ、その像は $\mathbb{Z}^2 \times \{0\}$ を保存する部分群 $\Pi$ に等しい。
• $\mathcal{D}(V,\partial V;\xi_S) \to \mathcal{D}(V,\partial V)$ が経路成分上で単射を誘導する。同様に他の埋め込みに対しても成り立つ。
• 接触構造 $\xi_S$ を保存するが、コオリエンテーションを保たない接触同相は、群として $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \pi_0\mathcal{D}(V;\xi_S)$ に同型であり、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 要素はファイバー上の反転写像に対応する。
• 証明は、特に厚みのあるトーラス上のタイト接触構造の分類を用いた、同相型の拡張と凸曲面理論に依拠しており、任意の接触同相が曲面の微分同相の持ち上げに同相的であることを示している。