[論文レビュー] Sur quelques représentations potentiellement cristallines de GL_2(Q_p)

Laurent Berger, Christophe Breuil|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、ℚₚ上の2次元の絶対的単純なp進ガロア表現Vに対して、GL₂(ℚₚ)のp進バナッハ空間表現B(V)を構成する。Vはℚₚのアーベル拡大上でクリスタリンになる可能性があり、φ-半単純である。(φ,Γ)-加群とワッチ加群を用いて、B(V)が非零、位相的に単純、かつ適切であることを証明し、GL₂(ℚₚ)におけるp進Langlands対応への重要な一歩を確立する。

ABSTRACT

To each 2-dimensional irreducible p-adic representation of Gal(Qpbar/Qp) which becomes crystalline over an abelian extension of Q_p, we associate a Banach space B(V) endowed with a linear continuous unitary action of GL_2(Q_p). When V is moreover phi-semi-simple, we use the (phi,Gamma)-module and the Wach module associated to V to show that the representation B(V) is nonzero, topologically irreducible and admissible.

研究の動機と目的

• 潜在的クリスタリンでφ-半単純なℚₚ上の2次元ガロア表現Vに付随するGL₂(ℚₚ)のp進バナッハ空間表現B(V)を構成すること。
• B(V)の非零性、位相的単純性、および適切性を確立すること。これらはp進Langlands対応において鍵となる性質である。
• ワッチ加群理論を潜在的クリスタリンな状況に拡張し、B(V)の構造を分析するために用いること。
• B(V)*とD(V)の射影極限lim←ψ D(V)との間にBorelに不変な同型写像を確立すること。これによりガロア表現とGL₂(ℚₚ)表現を結びつける。
• B(V)をℚₚ上の連続関数の空間として具体的に実現し、p進関数解析的手法を用いることを可能にすること。

提案手法

• GL₂(ℚₚ)に不変な安定的格子を備えた、代数的表現Alg(V)と滑らか表現Lisse(V)のテンソル積のp進完備化としてB(V)を構成する。
• Vに付随する(φ,Γ)-加群D(V)を用いて、B(V)およびその双対の構造を記述し、Borelに不変な同型写像を確立する。
• ワッチ加群理論を潜在的クリスタリンな場合に拡張し、フィルター付きφ加群D_cris(V)とD(V)との関係を分析する。
• B(V)を特定のクラスのℚₚ上の連続関数の空間として表現し、p進関数解析的技法を用いることを可能にする。
• 局所解析的表現の理論とコルゼの(φ,Γ)-加群に関する研究を応用し、単純性と適切性を証明する。
• ψ-適合な有界列の射影極限lim←ψ D(V)を用いて、双対表現B(V)*のモデルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 潜在的クリスタリンでφ-半単純な2次元ガロア表現Vに付随するp進バナッハ表現B(V)は、非零のままであるか？
• RQ2 B(V)はGL₂(ℚₚ)-表現として位相的に単純であるか？
• RQ3 B(V)はシュナイダーとタイテルバウムの意味で適切であるか、すなわちB(V)の滑らかなベクトルのなす部分空間が局所有限次元表現をなすか？
• RQ4 ψ-適合な有界列を用いて、B(V)*とD(V)の射影極限lim←ψ D(V)との間にBorelに不変な同型写像を確立できるか？
• RQ5 ワッチ加群理論を潜在的クリスタリンな状況に拡張し、B(V)の分析を容易にすることができるか？

主な発見

• 任意の2次元の絶対的単純なp進ガロア表現Vに対して、B(V)は非零である。ただし、Vはℚₚのアーベル拡大上でクリスタリンであり、φ-半単純であるものとする。
• B(V)はGL₂(ℚₚ)の連続ユニタリ表現として位相的に単純である。これは、非自明な閉GL₂(ℚₚ)-不変部分空間をもたないことを意味する。
• B(V)は適切である。すなわち、B(V)の滑らかなベクトルのなす部分空間は局所有限次元であり、p進Langlandsプログラムにおける表現が満たすべき重要な条件を満たす。
• B(V)*とD(V)の射影極限lim←ψ D(V)との間に、Borelに不変な同型写像が存在する。
• B(V)をℚₚ上の連続関数の空間として具体的に実現できることにより、p進関数解析的道具の使用が可能になる。
• ワッチ加群理論を潜在的クリスタリンな状況に拡張したことで、主な結果、特にB(V)の非零性の証明が可能になった。