[論文レビュー] Surface classification and local and global fundamental groups, I

Fabrizio Catanese|ArXiv.org|Feb 7, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな複素曲面にグローバルなノーマルクロスズレを持つ除集合が与えられたとき、その局所基本群が非自明となる条件を確立する。特に、自己交叉数 ≤ -2 である有理成分の周囲の幾何的ループが、その有理成分上で canonical divisor が nef であるとき、基本群内で非自明のままであることを示している。主な結果は、Mumfordの特異点に関する定理を一般化し、負定値性の代わりに canonical divisor の nef 性を仮定することで、例外的な場合を除き、このようなループが無限位数をもつことを示している。この結果は、プラーイング技法と3次元多様体トポロジーにおける群の表示を用いて得られている。

ABSTRACT

Given a smooth complex surface S, and a compact connected global normal crossings divisor $D = \cup_i D_i$, we consider the local fundamental group, i.e., the fundamental group Gamma of T-D, where T is a good tubular neighbourhood of D. One has a surjection of Gamma onto the fundamental group of D, and the kernel $\sK$ is normally generated by geometric loops $\ga_i$ around the curve $D_i$. Among the main results, which are strong generalizations of a well known theorem of Mumford, is the nontriviality of $\ga_i$ in the local fundamental group, provided all the curves $D_i$ of genus zero have selfintersection <= -2. (in particular this holds if the canonical divisor is nef on D), and under the technical assumption that the dual graph of D is a tree.

研究の動機と目的

• 特異点の局所基本群の自明性に関する Mumford の定理を一般化し、交差行列が負定値であるという条件を、除集合の genus-zero 成分上で canonical divisor が nef であることというより弱い仮定に置き換えること。
• 自然な全射 π₁(T−D) → π₁(D) の核の構造を研究し、特に成分 Dᵢ の周囲の幾何的ループ γᵢ の非自明性を明らかにすること。
• 核の生成子（有理曲線の周りのループに対応）が、チューブ近傍の境界の基本群において無限位数をもつのはいつかを特定すること。
• 局所基本群の結果を非コンパクト曲面へ拡張し、幾何的条件が有利にもかかわらずループが自明になる例外的な場合を分類すること。

提案手法

• Γ = π₁(T−D), Π = π₁(D), 𝒦 が成分 Dᵢ の周りのループ γᵢ で正規生成される核であるとき、完全系列 1 → 𝒦 → Γ → Π → 1 を分析する。
• 除集合 D の双対グラフを木として用い、境界 Σ のトーラス近傍 T の 3 次元多様体としてのモデル化にプラーイング技法を適用する。
• 特に自己交叉数 Dᵢ² ≤ -2 である有理曲線に注目し、除集合のトポロジーと自己交叉から得られる生成子と関係式を用いて、基本群 Γ の群表示を構築する。
• 高 genus の曲線を有理曲線に置き換え、自己交叉数を任意に負にすることで、非自明性を保ちつつ問題をより単純な場合に還元する。
• 3 次元多様体理論の結果、特に拡張三角群と中心拡張の理論を応用し、γᵢ が Γ 内で無限位数の元へ写されるこを示す。
• 帰納法と基本的な無限部分構造（例：線形鎖、かみそ型構造）への還元を用い、一般の木型構造に対しても非自明性の結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D が滑らかな複素曲面 S 上のグローバルなノーマルクロスズレ除集合であるとき、局所基本群 π₁(T−D) が非自明となる条件は何か？
• RQ2 自己交叉数 Dᵢ² ≤ -2 である有理成分 Dᵢ の周囲の幾何的ループ γᵢ が、π₁(T−D) 内で非自明のままであるのはいつか？
• RQ3 有理成分 Dᵢ 上で canonical divisor K_S が nef であるという条件が、基本群 Γ = π₁(T−D) の構造に与える影響は何か？
• RQ4 Dᵢ² ≤ -2 かつ K_S·Dᵢ ≥ 0 を満たしても、γᵢ が自明になる例外的な構成はどのようなものか？
• RQ5 任意の木型双対グラフを持つ D に対して、高 genus 成分が存在する場合でも、γᵢ の非自明性は保証されるか？

主な発見

• 自己交叉数 Dᵢ² ≤ -2 である有理曲線 Dᵢ に対応する核 𝒦 の生成子 γᵢ は、K_S が Dᵢ 上で nef である（すなわち K_S·Dᵢ ≥ 0）限り、π₁(T−D) 内で無限位数をもつ。
• D の双対グラフが木であるという仮定のもとで、γᵢ の非自明性は保たれる。これは D が最小解消でない場合や、第一種の例外的除集合でない場合でも成り立つ。
• この結果は Mumford の定理を一般化する：局所基本群が自明であることは、D が第一種の例外的除集合であることと同値であるが、今やこれは D の genus-zero 成分上で K_S が nef であることと同値であることが示された。
• Dᵢ² ≤ -2 である有理曲線の線形鎖の場合、基本群 Γ は非自明であり、γᵢ は無限位数をもつ。これは明示的な群表示により示されている。
• かみそ型構造では、例外的な場合（Va）および（Vb）を除き、γᵢ は無限位数をもつ。これらは拡張三角群の表示を用いて明示的に分類されている。
• 核 𝒦 は γᵢ で正規生成され、例外的な場合を除き、各 γᵢ は Γ 内で無限位数の元へ写される。これは Γ が有限群でないことを示している。