[論文レビュー] Surface codes, quantum circuits, and entanglement phases

Jan Behrends, Florian Venn+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元サーフェスコードの誤り訂正段階と1次元自由フェルミオン量子回路におけるもつれ段階の双対性を確立する。ビット反転または整合的X回転誤りを受けるサーフェスコードを、転送行列と散乱ネットワークを介して2次元ランダム結合イジング模型に写像し、その後1次元量子回路に変換することで、誤り訂正段階が長時間状態におけるトポロジカルに非自明な面積則に対応することが示された。一方、閾値を超えると、非整合的誤りでは自明な面積則が、整合的誤りでは対数的もつれスケーリングが得られる。

ABSTRACT

Surface codes$\unicode{x2014}$leading candidates for quantum error correction (QEC)$\unicode{x2014}$and entanglement phases$\unicode{x2014}$a key notion for many-body quantum dynamics$\unicode{x2014}$have heretofore been unrelated. Here, we establish a link between the two. We map two-dimensional (2D) surface codes under a class of incoherent or coherent errors (bit flips or uniaxial rotations) to $(1+1)$D free-fermion quantum circuits via Ising models. We show that the error-correcting phase implies a topologically nontrivial area law for the circuit's 1D long-time state $|Ψ_\infty angle$. Above the error threshold, we find a topologically trivial area law for incoherent errors and logarithmic entanglement in the coherent case. In establishing our results, we formulate 1D parent Hamiltonians for $|Ψ_\infty angle$ via linking Ising models and 2D scattering networks, the latter displaying respective insulating and metallic phases and setting the 1D fermion gap and topology via their localization length and topological invariant. We expect our results to generalize to a duality between the error-correcting phase of ($d+1$)D topological codes and $d$-dimensional area laws; this can facilitate assessing code performance under various errors. The approach of combining Ising models, scattering networks, and parent Hamiltonians can be generalized to other fermionic circuits and may be of independent interest.

研究の動機と目的

• サーフェスコードにおける量子誤り訂正（QEC）段階と量子回路におけるもつれ段階の理論的リンクを確立すること。
• 既知のイジング模型双対性を用いて、非整合的（ビット反転）および整合的（回転）誤りを受ける2次元サーフェスコードを1次元自由フェルミオン量子回路に写像すること。
• 長時間発展状態 |Ψ∞⟩ のもつれ構造を面積則とトポロジカル不変量の観点から特徴づけること。
• QEC段階が1次元トポロジカルに非自明な段階に対応する一方、非QEC段階では誤りの種別に応じて異なるもつれスケーリングを示すこと。
• この双対性を高次元トポロジカルコードおよびそれらに付随する面積則へ一般化すること。

提案手法

• X誤りを受ける2次元サーフェスコードを、既知の双対性により2次元ランダム結合イジング模型（RBIM）に写像する。
• RBIMの転送行列を1+1次元量子回路ハミルトニアンとみなして、長時間極限におけるダイナミクスを可能にする。
• 整合的誤りの場合は、2次元イジング模型と複素結合を持つ2次元散乱ネットワークの間のさらなる双対性を用いて写像を拡張する。
• 散乱ネットワークの局在長さとトポロジカル不変量を用いて、長時間状態 |Ψ∞⟩ の1次元親ハミルトニアンを構築する。
• もつれスペクトルのゼロモードとトポロジカル不変量（例：Z2指数）を用いて、1次元状態におけるトポロジカル秩序を診断する。
• もつれエントロピーのスケーリングを分析する：QEC段階では面積則、整合的ケースの閾値を超えると対数的スケーリング。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元サーフェスコードの誤り訂正段階は、1次元量子回路におけるトポロジカルもつれ段階に写像可能か？
• RQ2 長時間状態 |Ψ∞⟩ のもつれエントロピーは、非整合的誤りと整合的誤りの下でどのようにスケーリングするか？
• RQ3 イジング模型と散乱ネットワークの双対性は、サーフェスコードのダイナミクスと1次元フェルミオン系の間を結ぶ役割を果たすか？
• RQ4 1次元系のトポロジカル不変量は、QEC閾値および散乱ネットワークの局在特性と関連づけられるか？
• RQ5 この双対性は、高次元トポロジカルコードおよびそれらに付随する面積則へ一般化可能か？

主な発見

• サーフェスコードのQEC段階は、もつれスペクトルのゼロモードが非ゼロであるトポロジカルに非自明な1次元段階に対応する。
• 非整合的ビット反転誤りの下では、長時間状態 |Ψ∞⟩ はQEC閾値を超えると自明な面積則を示す。
• 整合的X回転誤りの下では、閾値を超えるともつれエントロピーが系サイズに対して対数的にスケーリングし、臨界段階を示す。
• |Ψ∞⟩ の1次元親ハミルトニアンは散乱ネットワークを介して構築され、その絶縁体的または金属的性質が1次元状態のトポロジカルまたは自明な性質に対応する。
• 1次元系のトポロジカル不変量は、2次元散乱ネットワークの局在長さとZ2不変量と関連づけられ、QEC段階のトポロジカルなロバストネスを確認する。
• この双対性は、(d+1)次元トポロジカルコードとd次元面積則を結ぶ一般化されたフレームワークを示唆し、多様な誤りモデル下での性能評価を可能にする。