[論文レビュー] Surface Foliations with Compact complex leaves are holomorphic

J. Winkelmann|ArXiv.org|Sep 3, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンpaktoな複素曲面上で、すべての葉がコンパクトな複素曲線であるような実folデーションが、必然的に正則的であることを証明している。サイクル空間理論とケーラー形式上の体積論を用いて、葉が正則的でない場合、そのような構造は高次元や非コンパクトな設定では成り立たないことを示している。

ABSTRACT

Let X be a compact complex surface with a real foliation. If all leaves are compact complex curves, the foliation must be holomorphic.

研究の動機と目的

• コンパクトな複素曲面上の実folデーションが、すべての葉がコンパクトな複素曲線である場合、正則的であるかどうかを特定すること。
• 複素多様体上の実folデーションが、正則的構造によって誘導されるための条件を調査すること。
• このようなfolデーションの正則性において、コンパクト性の必要性を確立すること。
• この結果が高次元や非コンパクトな場合になぜ成立しないかを示すこと。

提案手法

• コンパクトな複素多様体に対して、バーラートの理論を用いて、曲面上のコンパクトな複素曲線をパラメトライズするサイクル空間（またはチャウスキーム）の構成を利用する。
• 葉を無限に多く含む成分 $ C_0 $ を特定し、普遍族の像が全体の曲面を被覆することを保証する。
• 交線論を適用して、任意の葉 $ L $ が固定された曲線 $ Z_q $ と数的に同値であり、すべての $ s \in C_0 $ に対して $ L \cdot Z_s = 0 $ であることを示す。
• ケーラー形式 $ \omega $ に対して $ \int_{Z_s} \omega $ の局所定数性を用いて、すべての葉が同じ体積を持つことを示し、還元可能なファイバーの存在を除外する。
• 任意の $ Z_s $ が還元可能であれば、その成分はより小さい体積を持ち、葉にはなり得ないため、被覆性と矛盾する。
• 結論として、すべての $ Z_s $ は非可約であり、folデーション $ \mathcal{F} $ の葉は $ Z_s $ と一対一に対応し、したがってfolデーションは正則的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな複素曲面上の実folデーションが、すべての葉がコンパクトな複素曲線である場合、どのような条件下で正則的になるか？
• RQ2 コンパクトな複素曲線のサイクル空間パラメトライゼーションを用いて、対応するfolデーションの正則性を導くことができるか？
• RQ3 なぜこの結果は高次元の複素多様体では成立しないのか？
• RQ4 コンパクト性が、実folデーションがコンパクトな複素曲線の葉を持つ場合に正則的であることを保証する役割を果たすのはなぜか？
• RQ5 非コンパクトな複素曲面上に、コンパクトな複素曲線の葉を持つ非正則的実folデーションは存在できるか？

主な発見

• コンパクトな複素曲面上では、すべての葉がコンパクトな複素曲線であるような実folデーションは、必然的に正則的である。
• 葉をパラメトライズするサイクル空間の成分 $ C_0 $ は非可約であり、その射影による像は曲面全体を被覆する。
• すべての葉は同じケーラー体積を持ち、この定数性により、ファミリー $ Z_s $ の還元可能なファイバーの存在が排除される。
• 還元可能なファイバーの不在と被覆性の両方が、各葉がファミリー $ \{Z_s\}_{s \in C_0} $ の非可約正則的曲線であることを示唆する。
• 葉と $ Z_s $ の曲線との間の一対一対応から、folデーションが正則的であることが導かれる。
• この結果は、三次元以上の次元では成り立たない。反自己双対4多様体上のツイスター空間の構成によって、それが示されている。