[論文レビュー] Surface group representations with maximal Toledo invariant

Marc Burger, Alessandra Iozzi+1 more|ArXiv.org|May 24, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート型のリー群への曲面群の基本群の最大表現の理論を発展させ、主要な位相的・解析的不変量としてトゥーリング不変量を導入し、その分析を行う。不変量の連続性、有界性、加法性、合同性の性質を確立し、最大表現の構造定理を証明するとともに、境界写像を通じてトゥーリング不変量と回転数を結びつけ、最大表現の集合が実代数的集合であることを示し、不変量の回転数による式を導出する。

ABSTRACT

We develop the theory of maximal representations of the fundamental group of a compact connected oriented surface with boundary, into a group of Hermitian type. For any such representation we define the Toledo invariant, for which we establish properties such as uniform boundedness on the representation variety, additivity under connected sum of surfaces and congruence relations. We thus obtain geometric properties of the maximalrepresentations, that is representations whose Toledo invariant achieves the maximum value: we show that maximal representations have discrete image, are faithful and completely reducible and they always preserve a maximal tube type subdomain. This extends to the case of a general Hermitian group some of the properties of the representations in Teichmuller space, as well as results due to Goldman, Toledo, Hernandez, Bradlow--Garcia-Prada--Gothen. An announcement of these results in the case of surfaces without boundary -- where the role of tube type domains had already been emphasized -- appeared in 2003 by the same authors. The congruence relations for the Toledo invariant involve a rotation number function related to a continuous homogeneous quasimorphism which gives an explicit way to compute the Toledo invariant. This rotation number generalizes constructions due to Ghys, Barge--Ghys, and Clerc--Koufany. We establish moreover properties of boundary maps associated to maximal representations which generalize naturally, for the causal structure of the Shilov boundary, monotonicity properties of quasiconjugations of the circle. This, together with the congruence relations leads to the result that the subset of maximal representations is always real semialgebraic.

研究の動機と目的

• 境界を持つ曲面への最大表現理論の拡張を行い、閉じた場合に既知の結果を一般化すること。
• ヒルバート型リー群への表現における位相的・解析的解釈を有する数値的不変量としてのトゥーリング不変量を定義し、その研究を行うこと。
• 最大表現の構造的性質を確立すること。特に、像のザリスキ・スパーンスの性質と、像の単射性を含む。
• ヒルバート型の群に対して回転数関数を定義し、境界写像および最大表現の不変量と関連付けること。
• 最大表現の集合が、コhomologicalおよび幾何学的技法を用いて実代数的集合であることを示すこと。

提案手法

• 曲面の基本類を用いて、有界連続コhomologyにおける有界カーラー類の引き戻しによりトゥーリング不変量を定義する。
• コhomologicalおよび解析的技法を用いて、表現多様体上でのトゥーリング不変量の連続性と一様有界性を確立する。
• 境界成分の双曲的化と接合構成を用いて、曲面の連結和におけるトゥーリング不変量の加法性を証明する。
• 最大表現に対する境界写像を構成し、その正則性を証明する。これは、円周の半同型写像の単調性の性質を一般化する。
• 局所コンパクトなヒルバート型の群に対して回転数関数を導入し、境界写像を通じてトゥーリング不変量と関連付ける。
• 回転数および境界写像の構造を用いて、トゥーリング不変量の式を導出し、最大表現多様体の実代数的性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トゥーリング不変量は、境界を持つ曲面群へどのように一般化可能であり、その基本的性質は何か？
• RQ2 最大表現（最大トゥーリング不変量を達成する表現）は、どのような幾何学的・代数的構造を持つのか？
• RQ3 最大表現に付随する境界写像は、円周の半同型写像の単調性をどのように一般化するのか？
• RQ4 ヒルバート型の群において、トゥーリング不変量と回転数の関係は何か？
• RQ5 最大表現の集合は、表現多様体の実代数的部分集合であるか？

主な発見

• トゥーリング不変量は表現多様体上で連続的かつ一様有界であり、微小変形に対して安定であることを保証する。
• トゥーリング不変量は、曲面の連結和において加法的であり、帰納的議論の強力な道具を提供する。
• 最大表現において、対称空間がチューブ型である場合には、表現の像は群においてザリスキ・スパーンスである。
• 最大表現に付随する境界写像は連続的であり、一般化された単調性性質を満たしており、円周の半同型写像の挙動を拡張する。
• トゥーリング不変量は回転数の式として表現可能であり、コhomological不変量と力学的データを結びつける。
• 最大表現の集合は実代数的集合である。これは、表現多様体の構造に対する強い位相的・代数的制約である。