[論文レビュー] Surface groups in uniform lattices of some semi-simple groups

Jeremy Kahn, François Labourie+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、中心が自明でない複素単純リー群の均一格子に対して、$K$-サリバン写像に基づく新しい幾何的枠組みを導入することで、表面部分群の存在を確立する。$K$-サリバン写像は、高ランクの対称空間における$K$-準円の一般化であり、これらがホルダー連続であることを証明する。さらに、$\zeta$-サリバン写像の等変性は、アノソフ表現を示し、極限写像が滑らかな円に限りなく近づく定量的バージョンの表面部分群定理を導く。

ABSTRACT

We show that uniform lattices in some semi-simple groups (notably complex ones) admit Anosov surface subgroups. This result has a quantitative version: we introduce a notion, called $K$-Sullivan maps, which generalizes the notion of $K$-quasi-circles in hyperbolic geometry, and show in particular that Sullivan maps are Hölder. Using this notion, we show a quantitative version of our surface subgroup theorem and in particular that one can obtain $K$-Sullivan limit maps, as close as one wants to smooth round circles. All these results use the coarse geometry of "path of triangles" in a certain flag manifold and we prove an analogue to the Morse Lemma for quasi-geodesics in that context.

研究の動機と目的

• 古典的な$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$のケースを超えて、複素単純リー群の均一格子における表面部分群の存在を確立すること。
• フラッグ多様体と$\mathfrak{sl}_2$-三重項に基づく新しい幾何的枠組みを用いて、カーン＝マークビッヒの定理を高ランクリー群へ一般化すること。
• $\zeta$-サリバン写像を導入し、その正則性と力学的帰結を証明することで、表面部分群定理の定量的バージョンを提供すること。
• $\zeta$-サリバン写像が$\alpha$-ホルダー連続であること、およびフクシアン群における等変性がアノソフ表現を示すこと。
• $q>p>0$を満たす$\mathrm{PU}(p,q)$のような非複素群に対しても理論を拡張し、主結果の適用範囲を広げること。

提案手法

• $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$からフラッグ多様体$\mathbf{F}$への写像として$K$-サリバン写像を定義する。円上の任意の3点の組が、写像がこの距離で円に一様に近づくような距離$d_\tau$を定義する。
• フラッグ多様体$\mathbf{F}$における「三角形の経路」の粗い幾何を用いて、$\zeta$-サリバン写像の挙動を解析し、この文脈における準地図的直線のモース型補題を確立する。
• 任意の$\zeta$-サリバン写像が、ある$\alpha > 0$に対して$\alpha$-ホルダー連続であることを証明する。連続性を事前に仮定しない正則性の確立。
• フクシアン群$\Gamma$の表現$\rho$が$\rho$-等変な$\zeta$-サリバン写像をもつならば、$\rho$は$\mathbf{F}$-アノソフであり、写像はその極限曲線であることを示す。
• スペクトルギャップの結果を用いた格子作用の指数的混合性を応用し、フラッグ多様体の幾何を制御し、均一格子においてこのような写像の存在を保証する。
• 帰納法と距離比較技術（例えば、$\ell_1$積距離とレヴィ＝プロホロフ距離）を用いて、トーラスから一般のコンパクト対称空間へ結果を拡張し、測度間の距離に関する定量的評価を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランク単純リー群の均一格子において、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$を越えて表面部分群を構成できるか？
• RQ2 高ランク対称空間における$K$-準円および$K$-準対称写像の適切な一般化は何か？
• RQ3 フラッグ多様体への等変写像（極限曲線の一般化）の正則性（例えばホルダー連続性）をどのように保証できるか？
• RQ4 $\zeta$-サリバン写像の存在が、表現がアノソフであることを示す条件は何か？
• RQ5 極限写像が滑らかな円に限りなく近づくように、構成を定量的に行えるか？

主な発見

• 任意の$\zeta$-サリバン写像は、ある$\alpha > 0$に対して$\alpha$-ホルダー連続であり、連続性を事前に仮定しない正則性が確立される。
• フクシアン群$\Gamma$の表現$\rho$が$\rho$-等変な$\zeta$-サリバン写像をもつならば、$\rho$は$\mathbf{F}$-アノソフであり、写像はその極限曲線である。
• 中心が自明で、複素単純リー群$\mathsf{G}$の均一格子$\Gamma$に対して、表面部分群が存在する。これはカーン＝マークビッヒの定理の一般化である。
• $K$が1に近い$K$-サリバン写像を用いることで、表面部分群の極限写像を、フラッグ多様体内で滑らかな円に限りなく近づけることができる。
• 構成は定量的である：任意の$\kappa > 0$に対して、ある$\zeta$が存在し、$\zeta$-サリバン写像が$d(\phi \cdot \mu, \overline{\phi} \cdot \mu) \leq \kappa \cdot \mathrm{diam}(\mathsf{T}^1)$を満たす。これにより、測度の歪みが制御される。
• スペクトルギャップを介した格子作用の指数的混合性を用いて、均一性および非可約性の条件下で、このような写像の存在を保証する。