[論文レビュー] Surface operators in 3d Topological Field Theory and 2d Rational Conformal Field Theory

Anton Kapustin, Natalia Saulina|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2010

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元トポロジカル量子場理論（TFT）における表面演算子と2次元合理的 conformal field theory（RCFT）における一貫性のある接合構造との間の対応関係を確立する。表面演算子がボリューム内線的演算子のリボン圏における対称Frobenius代数のモルティ・同値類に一致することを示し、Fuchs-Runkel-Schweigertの構成の物理的解釈を提供するとともに、2次元TFTにおける境界-ボリューム写像を3次元TFTへと拡張する。

ABSTRACT

We study surface operators in 3d Topological Field Theory and their relations with 2d Rational Conformal Field Theory. We show that a surface operator gives rise to a consistent gluing of chiral and anti-chiral sectors in the 2d RCFT. The algebraic properties of the resulting 2d RCFT, such as the classification of symmetry-preserving boundary conditions, are expressed in terms of properties of the surface operator. We show that to every surface operator one may attach a Morita-equivalence class of symmetric Frobenius algebras in the ribbon category of bulk line operators. This provides a simple interpretation of the results of Fuchs, Runkel and Schweigert on the construction of 2d RCFTs from Frobenius algebras. We also show that every topological boundary condition in a 3d TFT gives rise to a commutative Frobenius algebra in the category of bulk line operators. We illustrate these general considerations by studying in detail surface operators in abelian Chern-Simons theory.

研究の動機と目的

• 3次元TFTにおける表面演算子の物理的役割を2次元RCFTの観点から明確化すること。
• モジュラーテンソル圏から得られる2次元RCFTのFuchs-Runkel-Schweigert（FRS）構成を、3次元TFTの観点から物理的解釈すること。
• 3次元TFTに一般化された境界-ボリューム写像を、トポロジカル境界条件に可換Frobenius代数を関連させることで得ること。
• アーベルゲージ理論のChern-Simons理論における表面演算子を、一般枠組みの具体的実装として分析すること。
• モルティ同値や対称Frobenius代数といった圏論的道具を用いて、表面演算子の代数的構造を分析すること。

提案手法

• 3次元TFTを円筒上に定義した場合、折りたたみテクニックを用いて境界上の2次元RCFTに再解釈し、ボリューム内線的演算子を左右のチラルおよびアンチチラルセクターに結びつける。
• 表面演算子をTFTの2カテゴリの2次元射として定義し、不可視表面演算子がモノイダル単位として機能することを示す。
• 局所演算子を持たない表面演算子が、ボリューム内線的演算子のリボン圏における対称Frobenius代数を通じてチラルおよびアンチチラルセクターの一貫性のある接合を実現することを示す。
• ボリューム内線的演算子の圏における対称Frobenius代数のモルティ同値類と表面演算子との間の一対一対応を確立する。
• 3次元TFTにおける任意のトポロジカル境界条件に可換Frobenius代数を関連させることで、3次元TFTにおける境界-ボリューム写像を導出する。
• $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ Chern-Simons理論を分析し、表面演算子とその代数的不変量（$k$ が小さい場合のD型およびE型演算子を含む）を明示的に実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元TFTにおける表面演算子は、2次元RCFTにおけるチラルおよびアンチチラルセクターの接合とどのように関係しているか？
• RQ2 ボリューム内線的演算子の圏における、ある表面演算子に対応する代数的構造は何か？
• RQ3 Fuchs-Runkel-SchweigertによるFrobenius代数からの2次元RCFTの構成は、3次元TFTの観点からどのように導かれるか？
• RQ4 トポロジカル境界条件を用いて、2次元TFTにおける境界-ボリューム写像を3次元TFTに一般化できるか？
• RQ5 アーベルChern-Simons理論における表面演算子の分類は何か？また、モジュラーデータや双対性とどのように関係しているか？

主な発見

• 3次元TFTにおける表面演算子は、ボリューム内線的演算子のリボン圏における対称Frobenius代数のモルティ同値類に一致する。
• FRSプログラムにおける2次元RCFTの対称Frobenius代数による構成は、3次元TFTにおける表面演算子の挿入として物理的に実現される。
• 3次元TFTにおけるトポロジカル境界条件は、ボリューム内線的演算子の圏における可換Frobenius代数を生じさせ、2次元の境界-ボリューム写像を一般化する。
• $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ Chern-Simons理論において、表面演算子は $\mathbb{Z}_{2N} \times \mathbb{Z}_{2N}$ 内の関係によって分類され、$k$ が小さい場合にD型およびE型の演算子が現れる。
• 表面演算子の合成は、除数の最大公約数および最小公倍数を含む式によって支配され、$R_v$ と $R_{v'}$ の合成は $g R_x$ を与える。ここで $g = \gcd(v,v',N/v,N/v')$ である。
• 表面演算子の代数的構造は、対称Frobenius代数の圏論的データによって完全に記述され、D型演算子は両側での $SO(3)$ ゲージ場の一致によって定義される。