[論文レビュー] Surface Topological Order and a new 't Hooft Anomaly of Interaction Enabled 3+1D Fermion SPTs

Lukasz Fidkowski, Ashvin Vishwanath+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Parallel Computing and Optimization Techniques被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ユニタリ対称性によって保護される3+1次元フェルミオン系対称性保護表面状態（SPT）相において、新たな't Hooft異常を同定する。この異常は、表面に実現されるトポロジカル秩序に起因し、任意onsの置換が異常的であり、$H^3(G, \mathbb{Z}_2)$によって分類される。著者らは$\mathbb{Z}_4$ゲージ理論を用いて表面トポロジカル秩序を構成し、対称性作用が任意onsに及ぼす影響——特に非自明な braiding および融合統計——が、孤立した系では実現不可能であることを示し、その異常をキャンセルするには、体積SPTが不可欠であることを示した。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are well understood in the context of free fermions and in the context of interacting but essentially bosonic models. Recently it has been realized that intrinsically fermionic SPTs exist which only appear in interacting models. Here we show that the 3+1 dimensional realizations of these phases have surface states characterized by a new 't Hooft anomaly, captured by a $H^3(G, Z_2)$ class. This is encoded in the anomalous action of symmetry on the surface states with topological order, which must necessarily permute the anyons. We discuss in detail an example with symmetry group $G = Z_2 imes Z_4$. Using a network model of the surface we derive a candidate surface topological order given by a $Z_4$ gauge theory. We relate our findings to anomalies valued in $H^3$ with various coefficients introduced previously in both bosonic and fermionic settings, and describe a general framework that unifies these various anomalies.

研究の動機と目的

• ユニタリ対称性によって保護される3+1次元フェルミオン系SPTの表面トポロジカル秩序（STO）を理解すること、特に自由フェルミオンやボソン的アナログが存在しない場合を含む。
• 既知のボソン系における$H^4(G,U(1))$異常とは異なる、フェルミオン系SPTにおける新たな't Hooft異常を同定・特徴づけること。
• $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 対称性群を具体的な例として用い、表面任意onsにおける異常な対称性作用と体積SPTとの関係を確立するフレームワークを構築すること。
• フェルミオン系とボソン系の異常を統一するため、任意ons置換の$H^3(G,A)$異常を両者に共通する普遍的特徴として示すこと。

提案手法

• 候補の表面トポロジカル秩序として$\mathbb{Z}_4$ゲージ理論を実現する表面ネットワークモデルを構築する。
• 特に$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$群による任意onsの非自明な置換を含む、任意onsにおける対称性作用を分析し、その結果生じる異常な対称性実現を特定する。
• $S$行列およびVerlindeの公式を用いて、任意onsの融合代数の特徴を導出し、$\omega_a = M^*_{ab}$を満たすアーベル的任意ons $b$を同定し、トポロジカル秩序と整合することを保証する。
• 体積SPTが存在しない限り2+1次元系では実現不可能な任意onsにおける対称性分数量を示し、その異常が$H^3(G, \mathbb{Z}_2)$の類によって記述されることを証明する。ここで$G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$である。
• フェルミオン系異常とボソン系$H^4(G,U(1))$分類の関係を、$H^3(G,A)$および$H^4(G,U(1))$異常を含む一般化された枠組みを通じて関係づける。
• 体積におけるモノポール-反モノポールトンネル過程が、表面で非自明な$\mathbb{Z}_2$電荷変化を引き起こすことを示し、任意onsのbraiding統計の物理的実現を通じて異常を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ対称性のみで保護される3+1次元フェルミオン系SPTは、どのような表面トポロジカル秩序を実現するか？
• RQ2 表面任意onsにおける対称性作用がどのように異常的であり、その異常を記述するコhomology類は何か？
• RQ3 $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$異常（任意ons置換に起因）は2+1次元表面理論で一貫して実現可能か？また、体積SPTとどのように関係するか？
• RQ4 フェルミオン系SPT（$\sigma \in H^2(G, \mathbb{Z}_2)$および$\rho \in H^3(G, \mathbb{Z}_2)$）は、ボソン系SPTと表面異常の観点でどのように異なるか？
• RQ5 フェルミオン系における$H^3(G,A)$異常とボソン系における$H^4(G,U(1))$異常を結びつける統一的フレームワークは何か？

主な発見

• $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 対称性を持つ3+1次元フェルミオン系SPTの表面は、任意ons $1, e, m, \mu$ を持つ$\mathbb{Z}_4$ゲージ理論としてのトポロジカル秩序を実現し、非自明な任意onsのbraidingを示す。
• 対称性作用は任意onsの置換を非自明にし、その結果生じる異常は孤立した系では実現不可能であり、その異常は$H^3(G, \mathbb{Z}_2)$における非自明な類によって分類される。
• 異常は、$\mathbb{Z}_2$および$\mathbb{Z}_4$対称性の生成子が任意ons $m^2$ において反可換に作用することに起因し、体積におけるモノポールトンネル過程を模倣する。
• 任意ons上で定義された$\omega_a$の集合が、$N^c_{ab} \neq 0$ に対して $\omega_a \omega_b = \omega_c$ および $\omega_f = 1$ を満たす場合、あるアーベル的任意ons $b$ に対して $\omega_a = M^*_{ab}$ と書くことができ、これはフェルミオン任意ons $f$ との融合に関して一意に定まる。
• $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$異常（任意ons置換に起因）はフェルミオン系SPTにおいて普遍的であり、既知のボソン系における$H^4(G,U(1))$異常を一般化する。
• このフレームワークにより、$\sigma \neq 0$ のとき非自明なフェルミオン系SPTが存在するためには、任意ons分数量の$H^3(G,A)$異常が必要であることが示され、フェルミオン系とボソン系の異常を統一的に結びつける。