[論文レビュー] Surfaces have (asymptotic) dimension 2

Marthe Bonamy, Nicolás Bousquet+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$K_{3,p}$ をマイナーとして含まないグラフの漸近次元が 2 未満であることを証明しており、これは、平面上や任意の固定された曲面に埋め込めるすべてのグラフ—特に平面グラフを含む—の漸近次元が 2 であることを示している。この結果は、Fujiwara と Papasoglu が提起した最近の問題を解決し、リーマン面、有界パス幅グラフ（漸近次元 ≤1）、有界レイヤードパス幅グラフ（漸近次元 ≤2）にまで拡張可能であり、マイナー閉じたクラスや多項式成長を示すグラフに対しても応用可能である。

ABSTRACT

The asymptotic dimension is an invariant of metric spaces introduced by Gromov in the context of geometric group theory. When restricted to graphs and their shortest paths metric, the asymptotic dimension can be seen as a large scale version of weak diameter colorings (also known as weak diameter network decompositions), i.e. colorings in which each monochromatic component has small weak diameter. In this paper, we prove that for any $p$, the class of graphs excluding $K_{3,p}$ as a minor has asymptotic dimension at most 2. This implies that the class of all graphs embeddable on any fixed surface (and in particular the class of planar graphs) has asymptotic dimension 2, which gives a positive answer to a recent question of Fujiwara and Papasoglu. Our result extends from graphs to Riemannian surfaces. We also prove that graphs of bounded pathwidth have asymptotic dimension at most 1 and graphs of bounded layered pathwidth have asymptotic dimension at most 2. We give some applications of our techniques to graph classes defined in a topological or geometrical way, and to graph classes of polynomial growth. Finally we prove that the class of bounded degree graphs from any fixed proper minor-closed class has asymptotic dimension at most 2. This can be seen as a large scale generalization of the result that bounded degree graphs from any fixed proper minor-closed class are 3-colorable with monochromatic components of bounded size. This also implies that (infinite) Cayley graphs avoiding some minor have asymptotic dimension at most 2, which solves a problem raised by Ostrovskii and Rosenthal.

研究の動機と目的

• 固定された曲面上に埋め込めるグラフの漸近次元を特定し、Fujiwara と Papasoglu が提起した最近の未解決問題を解決すること。
• $K_{3,p}$ をマイナーとして含まないグラフのクラスの漸近次元が 2 未満であることを確立し、平面グラフや曲面埋め込みグラフに関する結果を一般化すること。
• 有界パス幅グラフおよび有界レイヤードパス幅グラフに対する漸近次元の境界を拡張し、有効度が有界なマイナー閉じたクラスのグラフに対しても適用すること。
• 漸近次元、弱直径彩色、多項式成長や有界拡張性を示す構造的グラフクラスなどの間の関係を調査すること。
• マイナー閉じたクラスにおける 3 色可能性の結果を大規模に一般化し、そのような設定において単色成分が一様に有界な弱直径を持つことを示すこと。

提案手法

• 著者らは、弱直径ネットワーク分解に基づく洗練された分解技法を用い、$r$-非交差被覆と $D(r)$-有界集合の概念を拡張することで、漸近次元を制御する。
• メトリック空間の均一化に関する Brodskiy, Dydak, Le Donne, Mitra の定理の定量的版を適用し、分解における成分の成長を制御する。
• グラフマイナー構造定理を用いて、$H$-マイナー自由グラフを、ほぼ曲面上に埋め込める部分に分解し、これらの部分の漸近次元を評価する。
• 有界パス幅グラフに対しては、木幅分解に基づく彩色を用い、弱直径が有界な成分を得ることで、漸近次元が 1 未満であることを示す。
• レイヤードパス幅に対しては、レイヤード分解と反復的彩色を組み合わせ、単色成分の弱直径が一様に有界であることを保証する。
• 有限グラフからリーマン面への結果の拡張のために、離散化の議論を用い、そのような曲面の漸近次元も 2 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fujiwara と Papasoglu が予想したように、平面グラフのクラスは漸近次元が 2 未満であるか？
• RQ2 任意の $t$ に対して $K_{t}$-マイナー自由グラフの漸近次元を $t$ とは無関係に有界化できるか、それとも $4^t$ の境界がタイトか？
• RQ3 有界パス幅グラフは漸近次元が 1 未満であり、有界レイヤードパス幅グラフは漸近次元が 2 未満であるか？
• RQ4 有効度 $q$ の $K_t$-マイナー自由グラフの漸近次元は、$K_t$-マイナー自由グラフと同一か？
• RQ5 多項式拡張性を示すすべてのグラフクラスは、有界な漸近次元を持つのか？

主な発見

• $K_{3,p}$ をマイナーとして含まないグラフのクラスの漸近次元は 2 未満であり、これは任意の固定された曲面上に埋め込めるすべてのグラフが漸近次元 2 を有することを示唆する。
• 有界パス幅グラフの漸近次元は 1 未満であり、有界レイヤードパス幅グラフの漸近次元は 2 未満である。
• 任意の固定された曲面上に埋め込めるすべてのグラフのクラスの漸近次元は 2 であり、Fujiwara と Papasoglu の最近の予想を確認する。
• 有効度が有界なマイナー閉じたクラスのグラフの漸近次元は 2 未満であり、3 色可能性の結果を大規模幾何に一般化する。
• 多項式成長を示すグラフは有界な漸近次元を持ち、そのクラスは部分線形な分離子を持つことが示され、粗い幾何学における既知の結果と関連する。
• 本稿は、弱直径分解に基づく統一的枠組みを用いて、$K_t$-マイナー自由グラフや $q$-fat $K_t$-マイナー自由グラフの漸近次元に関する複数の未解決問題を解決する。