[論文レビュー] Surfaces in Lie sphere geometry and the stationary Davey-Stewartson hierarchy

E. V. Ferapontov|ArXiv.org|Oct 27, 1997

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、Lie球面幾何学と可積分系の間の微分幾何的関係を、Lie球面同値に関する表面を分類する不変形式を導入することによって確立する。対角的カイドリック表面—等温表面の一般化—が静的修正Veselov-Novikov（mVN）方程式に従うことが示され、Calapsoの等温表面に対する方程式が静的Davey-Stewartson方程式に関係していることが明らかになり、Lie球面不変量と可積分階層の間の深い関係が明らかになった。

ABSTRACT

We introduce two basic invariant forms which define generic surface in 3-space uniquely up to Lie sphere equivalence. Two particularly interesting classes of surfaces associated with these invariants are considered, namely, the Lie-minimal surfaces and the diagonally-cyclidic surfaces. For diagonally-cyclidic surfaces we derive the stationary modified Veselov-Novikov equation, whose role in the theory of these surfaces is similar to that of Calapso's equation in the theory of isothermic surfaces. Since Calapso's equation itself turns out to be related to the stationary Davey-Stewartson equation, these results shed some new light on differential geometry of the stationary Davey-Stewartson hierarchy. Diagonally-cyclidic surfaces are the natural Lie sphere analogs of the isothermally-asymptotic surfaces in projective differential geometry for which we also derive the stationary modified Veselov-Novikov equation with the different real reduction. Parallels between invariants of surfaces in Lie sphere geometry and reciprocal invariants of hydrodynamic type systems are drawn in the conclusion.

研究の動機と目的

• 3次元空間内の一般の表面をLie球面同値で分類する基本的Lie球面不変量を特定すること。
• Lie最小表面と対角的カイドリック表面という2つの特別な表面クラスの幾何的意味を調査すること。
• 表面不変量を通じて静的Davey-Stewartson階層の微分幾何的実現を確立すること。
• Lie球面不変量と流体型系における逆不変量の類似性を明らかにすること。
• Lie線-球面対応を通じて、射影的微分幾何学とLie球面幾何学の双対性を表面が可積分PDEに従う場合に明らかにすること。

提案手法

• 表面をLie球面同値で分類する2つの基本不変量を導入する：$ \frac{\partial_1 k^1 \partial_2 k^2}{(k^1 - k^2)^2} dR^1 dR^2 $ に比例する対称2次形式と、$ \partial_1 k^1 g_{11} dR^1{}^3 + \partial_2 k^2 g_{22} dR^2{}^3 $ の共形類としての3次形式。
• Lie最小表面を、汎関数 $ \int\int \frac{\partial_1 k^1 \partial_2 k^2}{(k^1 - k^2)^2} dR^1 dR^2 $ の変分的極値として定義し、共形幾何における最小表面に類似する。
• 対角的カイドリック表面を、3次形式が $ dR^1{}^3 + dR^2{}^3 $ に比例する表面として特定する。これは等温表面の一般化である。
• Lie球面密度 $ U $ に対して、$ U^2 = \frac{\partial_1 k^1 \partial_2 k^2}{(k^1 - k^2)^2} $ を満たす静的修正Veselov-Novikov（mVN）方程式を導出し、Calapsoの等温表面理論における方程式と類似する役割を示す。
• Lie線-球面対応を用いて、対角的カイドリック表面を射影幾何における等温的漸近的表面と関連づけ、複素変換 $ p \to iU, W \to -W, V \to -V $ の下でmVN方程式が同じ形で成立することを示す。
• Mathematicaを用いた記号計算により、適合条件を検証し、不変量とその発展を支配する方程式系の完全な系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元空間内の表面の基本的Lie球面不変量は、曲率線座標系における曲率と計量データを用いてどのように定式化できるか？
• RQ2 Lie球面幾何学において、静的修正Veselov-Novikov方程式に対応する幾何的表面クラスは何か？
• RQ3 静的Davey-Stewartson方程式は、Calapsoの式と等温表面の幾何学的性質とどのように関係しているか？
• RQ4 Lie線-球面対応は、可積分PDEに従う表面において、射影的微分幾何学とLie球面幾何学を統合する役割を果たすか？
• RQ5 任意のパラメータ化に対して、Lie球面幾何学における表面の不変量を座標に依存しないテンソル的形で表現できるか？

主な発見

• 対称2次形式 $ \frac{\partial_1 k^1 \partial_2 k^2}{(k^1 - k^2)^2} dR^1 dR^2 $ と、3次形式 $ \partial_1 k^1 g_{11} dR^1{}^3 + \partial_2 k^2 g_{22} dR^2{}^3 $ の共形類は、一般の表面がLie球面同値で一意に決定されることを示す。
• 3次形式が $ dR^1{}^3 + dR^2{}^3 $ に比例する対角的カイドリック表面は、$ U^2 = \frac{\partial_1 k^1 \partial_2 k^2}{(k^1 - k^2)^2} $ を満たすLie球面密度 $ U $ に対して、静的修正Veselov-Novikov方程式に従う。
• 静的Davey-Stewartson方程式は、等温表面を支配するCalapsoの式を通じて幾何的に実現可能であり、静的Davey-Stewartson階層とLie球面幾何学の間の関係を確立する。
• 射影的微分幾何学における等温的漸近的表面は、複素変換 $ p \to iU, W \to -W, V \to -V $ の下で、対角的カイドリック表面と同じ静的mVN方程式に従うことが示され、射影幾何とLie球面幾何の間の双対性が明らかになった。
• 導出された方程式系の適合性から、恒等式 $ \partial_2(GU^2) + \partial_1(HU^2) = 0 $ が得られ、mVN階層の導出の一貫性が確認された。
• Mathematicaを用いた記号計算により、すべての導出された方程式、特に関数 $ A, B, F, G, H $ の適合条件および静的mVN系の最終形が検証された。