[論文レビュー] Surfaces on Oeljeklaus-Toma Manifolds

Sima Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、数体から構成される複素非ケーラー多様体であるOeljeklaus-Toma多様体が、2次元のコンパクトな複素曲面を含むのは、Inoue曲面に限ることを証明している。Oeljeklaus-Toma構成の幾何学的性質と、正則曲線および(1,1)-形式の性質を用いて、このような曲面が、1つの実埋め込みと2つの複素埋め込みをもつ部分体から生じることを示し、曲線が存在しないことから、これらの多様体内には他の曲面が存在できないことを示している。

ABSTRACT

Oeljeklaus-Toma manifolds are complex non-Kähler manifolds constructed by Oeljeklaus and Toma from certain number fields. These manifolds generalize Inoue surfaces of type $S_m$. In this work it is shown that Oeljeklaus-Toma manifolds could not contain any compact complex submanifolds of dimension 2 (surfaces) except Inoue surfaces.

研究の動機と目的

• Oeljeklaus-Toma多様体に埋め込めるコンパクトな複素曲面は何かを特定すること。
• これらの非ケーラー複素多様体に2次元の複素部分多様体が存在するかを調査すること。
• 数体の埋め込みと単数群がこのような部分多様体の構成に果たす役割を明確にすること。
• Oeljeklaus-Toma多様体がInoue曲面を含むための明確な条件を確立すること。
• Oeljeklaus-Toma多様体内にInoue曲面以外の曲面が存在するかどうかを解明すること。

提案手法

• 単数の対数埋め込みを用いて、Oeljeklaus-Toma多様体上に正確な半正定(1,1)-形式 ω を構成すること。
• 形式 ω の分析により、多様体内の任意の曲線は ω-体積が0であることを示し、したがって正則曲線が存在しないことを示すこと。
• Dirichletの単数定理を用いて、単数群の像が R^m における格子構造をもつことを確立すること。
• 1つの実埋め込みと2つの複素埋め込みをもつ部分体 K₁ を用いて、Inoue曲面の構成をOeljeklaus-Toma枠組みに埋め込むこと。
• K の全体に対して、K₁ 用の生成子 U₁ と K 用の Ũ を組み合わせて、適切な群 U を構成すること。
• 単数群と整数環の埋め込み、および群作用の整合性を用いて、Inoue曲面 S = H×C / U₁⋉O_{K₁} を Oeljeklaus-Toma多様体 X = H^s×C^t / U⋉O_K に正則埋め込みすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Oeljeklaus-Toma多様体は、Inoue曲面以外に2次元のコンパクトな複素曲面を含むことができるか？
• RQ2 数体の実埋め込みと複素埋め込みが、このような曲面の存在を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 Oeljeklaus-Toma多様体が正則曲線を含まない理由は何か？ そして、これは曲面の埋め込みをどのように制約するか？
• RQ4 数体 K にどのような数論的条件が満たされると、Oeljeklaus-Toma多様体がInoue曲面を含むようになるか？
• RQ5 Oeljeklaus-Toma多様体内にInoue曲面が存在することは、1つの実埋め込みと2つの複素埋め込みをもつ部分体の存在と同値か？

主な発見

• 正確な半正定(1,1)-形式 ω を用いた解析により、Oeljeklaus-Toma多様体内の任意の曲線の ω-体積が0になることが示され、したがって正則曲線は存在しないことが判明した。
• 曲線の不在は、楕円ファイブレーション、曲面の吹き増し、ホフ曲面などの曲線を含む曲面が、Oeljeklaus-Toma多様体内に埋め込めないことを示している。
• Oeljeklaus-Toma多様体内に存在可能な唯一の2次元コンパクト複素曲面は、Inoue曲面であり、それ自身が2次元のOeljeklaus-Toma多様体である。
• 数体 K から構成されるOeljeklaus-Toma多様体がInoue曲面を含むための必要十分条件は、K がちょうど1つの実埋め込みと2つの複素埋め込みをもつ部分体 K₁ を含むことである。
• このような埋め込みは、K₁ から K への単数群と整数環の埋め込み、および整合性のある群作用を用いて、Inoue曲面構造をKに引き上げることで実現される。