[論文レビュー] Surfaces with p_{g}=q=2 and an irrational pencil

Francesco Zucconi|ArXiv.org|Oct 18, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$p_g = q = 2$ である一般型表面のすべての無理的ファイブレーションを分類し、任意の genus $g > 2$ のファイブレーションが等質的（isotrivial）であることを証明する。このような表面は、$G = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ による $C_1 \times C_2 / G$ の最小特異点解消として得られ、これらのファイブレーションの完全な分類がなされ、Cataneseの予想（$p_g = q = 2$ である無理的ファイブレーションを持たない表面は、ピカード極大なアーベル多様体の2重被覆である）に対する間接的証拠が得られる。また、GH表面理論を用いて、この不変量の範囲における非一般型表面の分類も完成する。

ABSTRACT

We classify all the irrational pencils over the surfaces of general type with p=q=2. This classification adds a new evidence to a Catanese conjecture which states that if S has p=q=2 but no irrational pencils then it is the double cover of a P.P. Abelian variety branched on a reduced divisor linearly equivalent to twice a theta divisor.

研究の動機と目的

• 一般型表面で $p_g = q = 2$ であるもののすべての無理的ファイブレーションを分類すること。
• Cataneseの予想（このようなファイブレーションを持たない表面は、ピカード極大なアーベル多様体の2重被覆である）に対する間接的証拠を提供すること。
• $p_g = q = 2$ でアーベル多様体の一般型ではない表面の分類を、2次元曲線へのエタールファイブレーションを分析することで完成させること。
• 等質的ファイブレーション理論および曲線への群作用の技術を用いて、このようなファイブレーションのすべての可能性を分類すること。

提案手法

• 線分束とコhomオロジーの消失を分析するため、Simpsonの理論 $V^1(X) = \{L \in \mathrm{Pic}^0(X) \mid h^1(X, -L) \geq 0\}$ を用いる。
• $p_g = q = 2$ である表面における genus $g > 2$ ファイブレーションの分類に、[Ca1] および [Z2] の等質的ファイブレーションに関する結果を適用する。
• G-作用が genus 2 曲線に及ぼす Bolza の分類を用いて、非一般型表面を $C' \times F$ の対角的 $G$-作用による商として分類する。
• ファイブレーションの一般ファイバーを研究し、その genus を計算するために、canonical 写像 $\phi_{|K_S|}: S \to \mathbb{P}^1$ を用いる。
• アーベル多様体写像の構造とそのファイブレーション型を分析し、一般型表面では、ファイブレーションのベースが genus 1 のみが可能であることを示す。
• オーロイド完全列と基本群の拡張を用いて、非一般型表面のモジュライを $\mathcal{M}(\Pi, 4)$ として記述し、指定された群作用を伴う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型表面で $p_g = q = 2$ である場合に、無理的ファイブレーションの可能性のあるタイプは何か？
• RQ2 このような表面に非等質的ファイブレーションが存在しうるか？ その場合、どのような条件下で存在するか？
• RQ3 ファイブレーションは、ピカード極大なアーベル多様体の2重被覆に関する Catanese の予想とどのように関係するか？
• RQ4 このようなファイブレーションにおける canonical 写像の一般ファイバーの構造は何か？
• RQ5 一般型でない場合を含めた、$p_g = q = 2$ である表面の全モジュライ空間は、どのように分類できるか？

主な発見

• 一般型表面で $p_g = q = 2$ である場合、genus $g > 2$ のすべての無理的ファイブレーションは等質的（isotrivial）である。
• $p_g = q = 2$ で genus $g > 2$ の等質的ファイブレーションを持つ表面 $S$ は、$G = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$、$C_i$ を genus 3 曲線として、$C_1 \times C_2 / G$ の最小特異点解消として得られる。ここで、$C_i \to E_i = C_i/G$ は、楕円曲線 $E_i$ の2点に分岐するガロア被覆である。
• このような表面における canonical 写像の一般ファイバーの genus は 9 であり、4点で交わる2つの genus 3 曲線を滑らかにした結果得られる。
• genus 2 ファイブレーションの場合は、$S$ は $Y = E_1 \times E_2$ 上の2重被覆の正規化であり、分岐被覆は $D \in |2\pi_1^*(P_1) + 2\pi_2^*(P_2)|$ に属する。この場合、canonical 写像の一般ファイバーの genus は 5 である。
• GH表面理論を用いて、$p_g = q = 2$ である非一般型表面の分類が完成し、各既約モジュライ成分が $\mathcal{M}(\Pi, 4)$ として与えられ、$\Pi$ は $G$ が genus 2 および genus 3 曲線に作用する特定の群拡張に適合する。
• genus 2 曲線 $C$ と $G \subset \mathrm{Aut}(C)$ で $C/G = \mathbb{P}^1$ を満たすペア $(C, G)$ は、全部で 21 種類存在する。そのうち 15 種類は拡張可能であり、残りの 6 種類は群作用とモノドロミーデータを明示的に列挙している。