[論文レビュー] Surjectivity of certain word maps on PSL(2,C) and SL(2,C)

Tatiana Bandman, Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 2$ 個の生成元からなる自由群の導出部分群 $F^{(1)} \setminus F^{(2)}$ に属する非自明な交換子によって定義される語写像が、代数的に閉じた特徴がゼロの体上の $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ および $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ に対して全射であることを確立している。マグヌス埋め込み定理の亜種と、上三角行列上の語写像の明示的トレース解析を用いて、特定の語に対して全射性を証明し、$F^{(2)}$ に属するが $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上で全射である例 $[[x,[x,y]],[y,[x,y]]]$ を含む。これは、単純代数群上の語写像の全射性に関する未解決問題の一つを解決するものである。

ABSTRACT

We show that an element w of a free group F on n generators defines a surjective word map of PSL(2,C)^n onto PSL(2,C) unless w belongs to the second derived subgroup of F. We also describe certain words maps that are surjective on SL(2,C) x SL(2,C). Here C is the field of complex numbers.

研究の動機と目的

• 非冪語に対する $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ および $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上の語写像の全射性に関する未解決問題を解決すること。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ および $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 上の語写像が全射またはほぼ全射となる条件を特定すること。
• 古典的結果ではカバーされない第二導出部分群 $F^{(2)}$ に属する語写像の明示的基準と例を提供すること。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上の語写像の像を特徴付けるためにマグヌス埋め込み定理とトレース写像解析を応用すること。

提案手法

• 特徴がゼロの代数的に閉じた体 $K$ に対して $\mathrm{SL}(2,K)$ 上の語写像の像を分析するためのマグヌス埋め込み定理の亜種の使用。
• 上三角行列における $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上の語写像 $w(x,y) = \prod_{i=1}^k x^{a_i} y^{b_i}$ の明示的計算を通じて、トレースに基づく基準を導出すること。
• トレース写像 $\mathrm{tr}(w(x,y))$ の分析により、像がすべての半単純元、単積元、およびマイナス単積元を含むかどうかを特定すること。
• グレブナー基底および多項式イデアル計算（Magma を用いて）により、特定のアフィン部分集合上で行列成分が恒等的に消えないことを確認し、単積元およびマイナス単積元に対する全射性を保証すること。
• パラメータ化された族を用いて、$w(x,y) = -id$ または $w(x,y)$ がマイナス単積元行列であるような明示的行列 $x,y \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の構成。
• 像がすべての共轭類（特に $-id$ およびマイナス単積元行列）を含むことを示すことにより、語 $v(x,y) = [[x,[x,y]],[y,[x,y]]]$ が $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上で全射であることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $w \in F^{(1)} \setminus F^{(2)}$ に対して、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 上の語写像として全射であるか？
• RQ2 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上の語写像の全射性は、トレース条件と指数の偶奇性によって特徴付けられるか？
• RQ3 $F^{(2)}$ に属する語の中で、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上で全射であるものはあるか？ これは、全射性を妨げるような導出部分群の構造的性質を持たないにもかかわらず。
• RQ4 $w(x,y) = \prod_{i=1}^k x^{a_i} y^{b_i}$ の指数 $a_i, b_i$ にどのような条件が課されると、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上で全射またはほぼ全射となるか？
• RQ5 $w \in F^{(2)}$ であっても、$w(x,y) = -id$ またはマイナス単積元行列となるような明示的行列 $x,y$ を構成できるか？

主な発見

• 任意の $w \in F^{(1)} \setminus F^{(2)}$ に対して、特徴がゼロの代数的に閉じた体 $K$ 上で $\mathrm{PSL}(2,K)$ 上の語写像は全射である。
• すべての $b_i > 0$ を満たす $w(x,y) = \prod_{i=1}^k x^{a_i} y^{b_i}$ に対して、語写像は全射であるか、あるいは別の語の真のべきである。
• 語 $v(x,y) = [[x,[x,y]],[y,[x,y]]]$ は $F^{(2)}$ に属するが、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上で全射であり、その像は $-id$ およびすべてのマイナス単積元行列を含む。
• 行列 $x = \begin{pmatrix}1-d&1\\ -2/3&d\end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix}2-3d&0\\ 0&3d-1\end{pmatrix}$ は、$d^2 - d + 1/3 = 0$ を満たすとき $v(x,y) = -id$ を与え、$d$ が38次既約多項式の根であるときマイナス単積元行列を与える。
• トレース写像 $\mathrm{tr}(w(x,y))$ を用いて、像がトレースが $\pm 2$ に等しくないすべての半単純元、トレースが2のすべての単積元、およびトレースが$-2$ で $-id$ でないすべてのマイナス単積元を含むことを確認し、全射性を保証している。
• Magma を用いた計算により、$\mathrm{tr}(v(x,y)) = \pm 2$ を満たす集合上で $q_{12}$ 成分が恒等的に消えないことが確認され、これらの共轭類に属する非自明な元が像に含まれることを証明した。