[論文レビュー] Surjectivity of the asymptotic Borel map in Carleman-Roumieu ultraholomorphic classes defined by regular sequences

Javier Jiménez-Garrido, Javier Sanz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Dyn'kinの意味における正則列によって定義されるCarleman-Roumieu超擬解析的クラスにおいて、漸近的Borel写像の上への性質と、グローバルな右逆写像（拡張作用素）の存在を確立する。正則変動の理論、積分変換、Gelfand-Shilov空間に関する特徴付け結果を用いて、上への性質が、すべての扇型開口角 γ ∈ (0, ∞) に対して成り立つための必要十分条件として、Thilliez指数 γ(M) = ∞ が得られ、これは条件 (β2) を満たす十分に速く増加する列 m_n であることと同値であることが示される。

ABSTRACT

We study the surjectivity of, and the existence of right inverses for, the asymptotic Borel map in Carleman-Roumieu ultraholomorphic classes defined by regular sequences in the sense of E. M. Dyn'kin. We extend previous results by J. Schmets and M. Valdivia, by V. Thilliez, and by the authors, and show the prominent role played by an index associated with the sequence and introduced by Thilliez. The techniques involve regular variation, integral transforms and characterization results of A. Debrouwere in a half-plane, steming from his study of the surjectivity of the moment mapping in general Gelfand-Shilov spaces.

研究の動機と目的

• 正則列によって定義されるCarleman-Roumieu超擬解析的クラスにおける漸近的Borel写像の上への性質を特徴づけること。
• 最小限の増加仮定のもとで、Borel写像に対するグローバルな拡張作用素（右逆写像）の存在を確立すること。
• 正則列の文脈において、Thilliez指数 γ(M) とその条件 (β2) との関係を明確にすること。
• 中程度増加条件を越えて、微分閉列に注目して、上への性質に関する既存の結果を拡張すること。
• 指数 γ(M) を用いて、上への性質の区間と拡張作用素の存在の完全な特徴づけを提供すること。

提案手法

• 列 m_n の増加度、および重み列 M の商の増加度を分析するために、正則変動の理論と下位Matuszewska指数を用いる。
• A. Debrouwere によるGelfand-Shilov空間におけるモーメント写像の上への性質に関する特徴付け結果を、漸近的Borel写像に応用する。
• 複素半平面における拡張作用素の構成に、積分変換およびラプラス変換の性質を用いる。
• 漸近的解析を用いて、条件 γ(M) = ∞ と列 m_n が条件 (β2) を満たすという事実の同値性を確立する。
• 下位Matuszewska指数を用いて、指数 γ(M) = ∞ と列 f_m = (m_{n-1})_n の急速変動性との同値性を活用する。
• Stolzの基準および対数的漸近論を用いて、log(m_n) が log(n) に関しての増加条件を導出し、結論として log(m_n)/log(n) → ∞ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則列によって定義される超擬解析的クラスにおいて、漸近的Borel写像がいつ上への性質をもつのか。
• RQ2 中程度増加条件が成り立たない状況下で、Borel写像に対するグローバルな拡張作用素（右逆写像）がいつ存在するのか。
• RQ3 列 m_n に対して、Thilliez指数 γ(M) と条件 (β2) の正確な関係は何か。
• RQ4 指数 γ(M) = ∞ は、すべての扇型開口角 γ ∈ (0, ∞) に対して拡張作用素の存在とどのように関係するか。
• RQ5 中程度増加条件を仮定せず、微分閉性と正則性のみを用いて、Borel写像の上への性質を完全に特徴づけることができるか。

主な発見

• 漸近的Borel写像は、すべての扇型開口角 γ ∈ (0, ∞) に対して上への性質をもつ、かつそのときに限り、Thilliez指数 γ(M) = ∞ が成り立つ。
• γ(M) = ∞ のとき、任意の r > 0 に対して、C[[z]]{M} → A{bM}(Sr) となるグローバルな拡張作用素 UM,r が存在する。
• 条件 γ(M) = ∞ は、列 m_n が条件 (β2) を満たすことに同値であり、これはモーメント写像の上への性質と拡張作用素の存在を保証する。
• 下位Matuszewska指数を用いて、γ(M) = ∞ と列 f_m = (m_{n-1})_n の急速変動性との同値性が確立される。
• 条件 γ(M) = ∞ は、n → ∞ のとき log(m_n)/log(n) → ∞ を意味し、これはBorel写像の上への性質のための重要な増加基準である。
• 上への性質の区間が (0, ∞) となるのは、γ(M) = ∞ のときに限るが、これは中程度増加条件に依存せず、微分閉の場合にまで既存の結果を拡張する。