[論文レビュー] Surrogate Modeling for Physical Systems with Preserved Properties and Adjustable Tradeoffs

Randi Wang, Morad Behandish|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2022

Model Reduction and Neural Networks参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、計算コストと精度のバランスを図りながらも、重要な物理的性質を保持する物理的システムの代替モデルを生成するフレームワークを提案する。モデル順序削減とデータ駆動型で解釈可能な集中定数モデル（lumped-parameter models）を組み合わせ、Tonti図とシステム同定を用いることで、事前誤差境界の保証と、シミュレーションの忠実度レベルにおける柔軟なトレードオフを可能にする。

ABSTRACT

Determining the proper level of details to develop and solve physical models is usually difficult when one encounters new engineering problems. Such difficulty comes from how to balance the time (simulation cost) and accuracy for the physical model simulation afterwards. We propose a framework for automatic development of a family of surrogate models of physical systems that provide flexible cost-accuracy tradeoffs to assist making such determinations. We present both a model-based and a data-driven strategy to generate surrogate models. The former starts from a high-fidelity model generated from first principles and applies a bottom-up model order reduction (MOR) that preserves stability and convergence while providing a priori error bounds, although the resulting reduced-order model may lose its interpretability. The latter generates interpretable surrogate models by fitting artificial constitutive relations to a presupposed topological structure using experimental or simulation data. For the latter, we use Tonti diagrams to systematically produce differential equations from the assumed topological structure using algebraic topological semantics that are common to various lumped-parameter models (LPM). The parameter for the constitutive relations are estimated using standard system identification algorithms. Our framework is compatible with various spatial discretization schemes for distributed parameter models (DPM), and can supports solving engineering problems in different domains of physics.

研究の動機と目的

• 高忠実度モデルは計算的に高価であり、低忠実度モデルは精度に欠けるという物理的システムモデリングにおける詳細レベル（LOG）の選定の課題に対処すること。
• コスト-精度スペクトルをカバーする代替モデルのファミリーを生成する体系的でドメインに依存しない手法を提供すること。
• 低次元モデルにおける安定性、収束性、誤差境界といった重要な物理的性質を保持すること。
• 集中定数モデル（LPMs）を用いた事前に定義されたトポロジカル構造を課すことにより、データ駆動型モデルの解釈可能性を回復すること。
• ユーザーが本格的な高忠実度シミュレーションに着手する前に、モデルの忠実度について情報に基づいた意思決定を可能にすること。

提案手法

• モデルベースのアプローチでは、偏微分方程式（PDEs）の半離散化により大規模な常微分方程式系/微分代数方程式系（ODEs/DAEs）を生成し、制御理論からのモデル順序削減（MOR）を適用することで、安定性と収束性を保持する。
• データ駆動型のアプローチでは、実験またはシミュレーションデータに適合させるための構成関係を構築し、Tonti図を用いて事前に定義されたトポロジカル構造から支配的ODEを体系的に導出する解釈可能なLPMを構築する。
• Tonti図は、代数的トポロジー意味論を介して、LPMトポロジから微分方程式を生成するのに用いられ、単一およびマルチフィジックス系の両方で一貫性を保証する。
• システム同定（例えば、通常最小二乗法）により、未知の構成パラメータ（例えば、剛性、減衰、熱抵抗）をデータから推定する。
• ハイブリッドアプローチでは、モデルベースのROMと解釈可能なLPMを組み合わせ、前者を訓練データの生成と誤差の定量的評価（代数的リャプノフ方程式を用いて）に用いる。
• SPARK+CUREアルゴリズムを用いて、迅速なシミュレーションとデータ生成のための初期ROMを生成し、その後、そのROMを用いて解釈可能なLPMを訓練する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的システムのコスト-精度トレードオフスペクトルをカバーする代替モデルのファミリーを自動的に生成する方法は何か？
• RQ2 モデル順序削減は、安定性と収束性といった重要な物理的性質を保持しつつ、事前誤差境界を提供できるか？
• RQ3 事前に定義されたトポロジカル構造から、体系的に解釈可能な物理的に意味のある集中定数モデル（LPMs）を導出できるか？
• RQ4 ROMによって生成されたデータで訓練されたデータ駆動型LPMは、物理的一致性と誤差の定量的評価を保ちつつ、どの程度の精度を達成できるか？
• RQ5 モデルベースとデータ駆動型アプローチの利点を組み合わせたハイブリッドフレームワークは、柔軟で解釈可能かつ証明可能な正確性を持つ代替モデリングを可能にするか？

主な発見

• このフレームワークは、コスト-精度スペクトルをカバーする代替モデルのファミリーを効果的に生成し、ユーザーが本格的シミュレーションを実行する前に最適な詳細レベルを選択可能にする。
• モデルベースのMORアプローチにより、2つのテストケースで相対的ℋ₂誤差境界がそれぞれ0.0031および0.0124として事前に保証され、予測可能な精度が確保された。
• データ駆動型LPMアプローチは、パrameter推定において正規化平均二乗誤差（NRMSE）が3.11%に達し、優れたデータ適合性を示した。
• Tonti図の使用により、LPMトポロジからODEを体系的に導出でき、機械的および熱的領域の両方で構造的一致性が保証された。
• SPARK+CUREによって生成されたROMを用いたハイブリッドアプローチにより、シミュレーションコストが90%削減されつつも高い精度を維持した。
• このフレームワークは、さまざまな空間離散化スキームに対応可能であり、熱力学的・機械的システムを含む複数の物理的分野と互換性がある。