[論文レビュー] Surrogate modelling for stochastic dynamical systems by combining NARX models and polynomial chaos expansions

Chaitra H.V., Minas D. Spiridonakos+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非線形自己回帰型外生入力（NARX）モデルと多項式 chaotic 展開（PCE）を組み合わせ、確率的力学系のための高精度なスループットモデルを構築する LARS（最小角回帰）に基づく PC-NARX 法を提案する。NARX を用いてダイナミクスを別々にモデル化し、PCE を用いて不確実性をモデル化することで、LARS を用いて基底関数の選択を効率的に行う。この手法により、非定常な確率的励振に対する応答の時間歴予測において、標準的な PCE やモンテカルロ法を上回る高い精度を達成する。ベンチマークとしての構造力学的ケースにおいて、その有効性が検証された。

ABSTRACT

The application of polynomial chaos expansions (PCEs) to the propagation of uncertainties in stochastic dynamical models is well-known to face challenging issues. The accuracy of PCEs degenerates quickly in time. Thus maintaining a sufficient level of long term accuracy requires the use of high-order polynomials. In numerous cases, it is even infeasible to obtain accurate metamodels with regular PCEs due to the fact that PCEs cannot represent the dynamics. To overcome the problem, an original numerical approach was recently proposed that combines PCEs and non-linear autoregressive with exogenous input (NARX) models, which are a universal tool in the field of system identification. The approach relies on using NARX models to mimic the dynamical behaviour of the system and dealing with the uncertainties using PCEs. The PC-NARX model was built by means of heuristic genetic algorithms. This paper aims at introducing the least angle regression (LAR) technique for computing PC-NARX models, which consists in solving two linear regression problems. The proposed approach is validated with structural mechanics case studies, in which uncertainties arising from both structures and excitations are taken into account. Comparison with Monte Carlo simulation and regular PCEs is also carried out to demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

研究の動機と目的

• 確率的力学系の長期的ダイナミクスを捉えることが難しいとされる多項式 chaotic 展開（PCE）の既知の限界を克服すること。
• システムのダイナミクスのモデル化と不確実性伝播の分離を実現する非侵襲的かつ効率的なスループットモデリングフレームワークを開発すること。
• 不確実なパラメータと確率的励振を伴う構造力学的問題において、標準的な PCE やモンテカルロ法よりも精度と計算効率を向上させること。
• 最小角回帰（LARS）手法を、NARX および PCE の基底関数選択のためのヒューリスティックな遺伝的アルゴリズムの優れた代替手段として導入すること。
• 非定常な確率的励振下におけるベンチマーク工学モデルを用いて、提案された PC-NARX アプローチの妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は二段階のアプローチを採用する。まず、時系列データを用いてシステムのダイナミカルな挙動を表す確率的 NARX モデルを同定する。
• 第二に、NARX モデルの確率的係数を入力の確率的パラメータの多項式 chaotic 展開（PCE）として表現する。
• 最小角回帰（LARS）手法を用いて、最適な NARX 項および PCE 基底関数の選択のための二つの逐次的線形回帰問題を解く。
• LARS を用いることで、基底関数の効率的かつスパースな選択が可能となり、計算コストを削減しながらもスループットモデルの高い精度を維持できる。
• 本手法は非侵襲的であり、モデル式の変更なしに、単にシミュレーションデータに依存するため、複雑なシステムへも適用可能である。
• 得られた PC-NARX モデルは、統計的モーメントや確率密度関数を含む、応答の完全な時間歴を高い忠実度で予測できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LARS アルゴリズムは、確率的力学系のための高精度なスループットモデルを構築するために、NARX および PCE の両方の基底関数を効果的に選択できるか？
• RQ2 LARS を用いた PC-NARX アプローチは、標準的な時定常 PCE やモンテカルロ法と比較して、精度と効率の面で優れているか？
• RQ3 PC-NARX は、非定常な確率的励振下において、長期的ダイナミクスおよび非線形応答挙動をどの程度正確に捉えることができるか？
• RQ4 PC-NARX フレームワークは、システムパラメータと確率的励振の両方の不確実性を同時に扱えるか？
• RQ5 データのスパarsity および後処理の能力の観点から、PC-NARX モデルの限界は何か？

主な発見

• LARS を用いた PC-NARX モデルは、確率的力学系の応答時間歴を予測する面で、従来の時定常 PCE よりも顕著に高い精度を達成した。
• 本手法は、非定常な確率的励振下におけるボウ・ウエンヒステリックオシレータのような非線形的かつ時間に依存する挙動を的確に捉えることに成功した。
• PC-NARX モデルは、数値ソルバーとの比較により、標準偏差や最大応答の確率密度関数を含む統計的モーメントを正確に予測した。
• LARS の使用により、ヒューリスティックな遺伝的アルゴリズムと比較して、基底関数の選択が効率的かつスパースに行われ、計算コストが削減された一方で、精度は維持または向上した。
• 限られた数のシミュレーションしか利用できない状況では、モンテカルロ法に比べて計算効率に優れた性能を示した。
• PC-NARX モデルは、地震動などの構造的特性と確率的励振の両方からの不確実性を効果的に扱えることが分かった。