[論文レビュー] Surrounding cops and robbers on graphs of bounded genus

Peter Bradshaw, Seyyed Aliasghar Hosseini|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有界な genus を持つグラフにおける周囲コップ数のタイトな上限を確立し、平面的グラフでは最大7体のコップ、トーラス的グラフでは最大8体のコップが必要であることを示している。さらに、二部グラフの場合には改善された上限が得られている。著者らは、各パスに2〜3体のコップを配置して地図的パスを守る戦略を用い、反則者の領域を繰り返し縮小することで、最終的に包囲状態に陥らせる。

ABSTRACT

We consider a surrounding variant of cops and robbers on graphs of bounded genus. We obtain bounds on the number of cops required to surround a robber on planar graphs, toroidal graphs, and outerplanar graphs. We also obtain improved bounds for bipartite planar and toroidal graphs. We briefly consider general graphs of bounded genus and graphs with a forbidden minor.

研究の動機と目的

• 有界な genus を持つグラフ、特に平面的およびトーラス的グラフにおける反則者を包囲するために必要なコップの最小数を特定すること。
• コップと泥棒のゲームにおける周囲バージョン（コップが反則者を包囲することで勝利する）に、既存のコップ数戦略を拡張すること。
• 二部平面的および二部トーラス的グラフについて、改善された境界を確立すること。また、マイナーを含まないグラフへの一般化を行うこと。
• タイトな上界を確立し、具体的な構成によってそのタイトさを示すこと。

提案手法

• コップが特定のパスにアクセスすることを防ぐために配置される地図的パスを守る戦略を、コア戦略として採用する。
• 一般のグラフでは地図的パスを3体のコップで守り、二部グラフでは2体のコップで守る。これは距離シャドウイングとパス制御に基づく。
• 反則者の領域を繰り返し縮小するために、地図的パスを順次守る戦略を用い、反則者を含む連結成分を小さくしていく。
• グラフの genus およびマイナーを含まないグラフにおけるコップ数の既知の結果を、守られたパス戦略を用いて周囲バージョンに適応する。
• 距離に基づくシャドウイングを用いる：コップはパスの端点からの反則者の接近度を追跡し、アクセスを防ぐ。
• 具体的な構成（例：8頂点のグリッド $P_1 \square P_3$）を用いて境界のタイトさを証明し、二部外部平面的グラフでは $s(G) = 3$ であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的グラフにおける最大の周囲コップ数は何か？ そして7はタイトか？
• RQ2 トーラス的グラフにおける最大の周囲コップ数は何か？ そして8はタイトか？
• RQ3 同じ守備戦略を用いて、二部平面的および二部トーラス的グラフについて、改善された境界を確立できるか？
• RQ4 周囲コップ数の境界は、より高い genus を持つグラフおよびマイナーを含まないグラフにどのように一般化できるか？
• RQ5 移動制限（例：1ターンあたり制限された移動可能なコップ数）が周囲コップ数に与える影響は何か？

主な発見

• 任意の平面的グラフの周囲コップ数は最大7であり、6体のコップを必要とする平面的グラフが存在するため、この境界はタイトである。
• トーラス的グラフでは、周囲コップ数は最大8であり、例として7に達するものがある。
• 二部平面的および二部トーラス的グラフについては、改善された境界が確立された：それぞれ $s(G) \leq 4$ および $s(G) \leq 5$ である。
• genus が $g$ のグラフでは、周囲コップ数は $s(G) \leq 4g + 10$ で抑えられ、二部グラフでは $s(G) \leq \lfloor \frac{8}{3}g + \frac{20}{3} \rfloor$ である。
• マイナー $H$ を含まないグラフでは、一般のグラフに対して $s(G) \leq 3|E(H - h)|$、二部グラフに対しては $s(G) \leq 2|E(H - h)|$ で抑えられる。
• 二部外部平面的グラフ $G = P_1 \square P_3$ が構成され、$s(G) = 3$ であることが示された。これにより、外部平面的グラフにおける境界のタイトさが裏付けられた。