[論文レビュー] Survey of Dirichlet Series of Multiplicative Arithmetic Functions

Richard J. Mathar|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、乗法的数論的関数のディリクレ級数を、リーマン・ゼータ関数や無限のオイラー積の積・比として表現することにより、体系的に導出する。ディリクレ畳み込み、乗法的性質、ベル級数を活用し、オイラーのトーティエント関数、約数関数、および高階のモービウス関数やジョルダン関数といった主要関数の生成関数を分類・計算し、閉形式の表現とOEISのA番号を参照として提供する。

ABSTRACT

The manuscript reviews Dirichlet Series of important multiplicative arithmetic functions. The aim is to represent these as products and ratios of Riemann zeta-functions, or, if that concise format is not found, to provide the leading factors of the infinite product over zeta-functions. If rooted at the Dirichlet series for powers, for sums-of-divisors and for Euler's totient, the inheritance of multiplicativity through Dirichlet convolution or ordinary multiplication of pairs of arithmetic functions generates most of the results.

研究の動機と目的

• 重要な乗法的数論的関数のディリクレ生成関数を体系的に導出すること。
• これらの生成関数をリーマン・ゼータ関数の有限または無限の積・比として表現すること。
• ベル級数とディリクレ畳み込みを用いた統一的な枠組みを構築し、生成関数を導出すること。
• OEISのシーケンスにA番号を関連付けることで、相互参照および検証を可能にすること。
• ユニタリ・ジョルダン関数や高階のモービウス関数といった、既知の結果を高階の乗法的関数へと拡張すること。

提案手法

• ベル級数表現 ∏ₚ ∑ₑ≥₀ a(pᵉ)/pᵉˢ を用いて、ディリクレ級数をオイラー積として表現する。
• ディリクレ畳み込みを応用し、乗法的性質を保ちながら合成関数の生成関数を導出する。
• 恒等式 (1±pˡ⁻ᵘˢ)⁻¹ を用いて、無限のオイラー積をリーマン・ゼータ関数の比に変換する。
• マスタ一式 a(pᵉ) を用いて素数の冪における関数を定義し、乗法的性質によりすべての整数に拡張する。
• べき関数、約数関数、トーティエント関数、モービウス型関数、および xᵗ≡0 mod n の解の数の生成関数を導出する。
• オイラー積展開の切り捨てによる数値的評価により、複素平面上での ζ_D(s) の近似を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的数論的関数のディリクレ級数は、リーマン・ゼータ関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 ディリクレ畳み込みは、新たな乗法的関数およびそれらに関連するディリクレ級数を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ベル級数表現は、ディリクレ生成関数の無限積形の導出をどのように容易にするか？
• RQ4 高階のモービウス関数およびジョルダン関数のディリクレ級数の閉形式表現は何か？
• RQ5 これらのディリクレ級数の収束領域は、オイラー積成分における指数とどのように関係するか？

主な発見

• nᵏ のディリクレ級数は ζ(s−k) であり、定数関数 1 に対しては ζ(s) であり、モービウス関数 μ(n) は 1/ζ(s) を生成する。
• オイラーのトーティエント関数 φ(n) のディリクレ級数は ζ(s−1)/ζ(s) であり、ディリクレ畳み込み φ = μ⋆id から導出される。
• ユニタリ・ジョルダン関数 Jₖ⋆(n) の生成関数は、s>1+k に対して ζ(s−k) × ∏ₚ (1−p⁻ˢ)(1+pᵏ⁻²ˢ)(1−p⁻²ˢ)(1+pᵏ⁻³ˢ)²⋯ である。
• xᵗ≡0 mod n を満たす解の個数は乗法的であり、a(pᵉ)=p^{⌊(t−1)e/t⌋} で定義され、そのディリクレ級数は t≥2 のとき ∏ₚ (1 + ∑_{r=1}^{t−1} p^{r−1−rs}) / (1−p^{t−1−st}) である。
• xᵗ≡0 mod n を満たす最小の x>0 は、t=2 のとき、ディリクレ級数 ∏ₚ (1+p^{1−s})/(1−p^{1−2s}) = ζ(2s−1)ζ(s−1)/ζ(2s−2) を持つ。
• 高階のモービウス関数 μₖ(n) のベル級数は (1−2p⁻ᵏˢ+p⁻⁽ᵏ⁺¹⁾ˢ)/(1−p⁻ˢ) であり、そのディリクレ級数は特定の指数パターンを持つゼータ関数の無限積として表現される。