[論文レビュー] Survey on approximating L^2-invariants by their classical counterparts: Betti numbers, torsion invariants and homological growth

Wolfgang Lueck|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 70被引用数 8

ひとこと要約

本調査は、多様体やCW複体の有限被覆を通じて、L²不変量（L²ベッチ数、 torsion、ホモロジー的成長など）を古典的不変量（例：ベッチ数、 torsion）で近似することを検討する。有限正規被覆の塔に沿って正規化された不変量の収束を確立し、その極限が対応するL²不変量に一致することを示す。主な結果として、オイラー乗数、シグニチャ、ベッチ数について述べられ、torsionとランク勾配に関する未解決の予想が強調されている。

ABSTRACT

In this paper we discuss open problems concerning L^2-invariants focusing on approximation by towers of finite coverings.

研究の動機と目的

• 有限正規被覆の塔に沿って、被覆次数で正規化された古典的不変量（ベッチ数、torsion、ランク勾配など）が収束するかを調査すること。
• そのような正規化された不変量の極限が、ユニバーサル被覆の対応するL²不変量に等しくなるかを特定すること。
• アーティキュレート多様体および残差有限群におけるL²-torsion、L²-ベッチ数、ランク勾配の近似に関する未解決問題および予想を特定すること。
• 有限次元的類似を用いたL²不変量の近似に関する既知の結果と未解決課題を統合・調査すること。

提案手法

• 被覆次数の極限が自明になるような正規部分群の降下列 $G_i \trianglelefteq G$ を用いて、$G$-空間 $\overline{X}$ の有限被覆 $X[i] = G_i \backslash \overline{X}$ を構成すること。
• 被覆次数 $[G:G_i]$ で古典的不変量 $\alpha(X[i])$ を正規化し、列 $\alpha_i = \alpha(X[i])/[G:G_i]$ を形成すること。
• 極限 $i \to \infty$ における $\alpha_i$ の挙動を分析し、$\alpha^{(2)}(\overline{X}; \mathcal{N}(G))$、すなわち $\alpha$ の$L^2$-類似に収束することを証明することを目的とすること。
• スペクトル理論、群フォン・ノイマン代数 $\mathcal{N}(G)$、および$L^2$-不変量の近似定理の応用。
• Fuglede-Kadison行列式およびMahler測度を用いて、$L^2$-torsionとLehmerの問題を結びつける。
• アメニタリーエクhaustion、コスト理論、単体的体積の結果を活用し、予想的な近似を探索すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体 $F$ に対して、正規化された $n$-番目のベッチ数 $b_n(X[i]; F)/[G:G_i]$ は、$L^2$-ベッチ数 $b_n^{(2)}(\widetilde{X})$ に収束するか？
• RQ2 正規化されたランク勾配 $d(G_i)/[G:G_i]$ の極限は、$L^2$-ランク勾配 $\operatorname{RG}(G; (G_i))$ に等しいか？
• RQ3 正規化されたtorsionの対数 $\ln|\operatorname{tors}(H_n(X[i]))|/[G:G_i]$ は、アーティキュレート多様体に対して $L^2$-torsion $\rho^{(2)}_{\operatorname{an}}(\widetilde{X})$ に収束するか？
• RQ4 次元 $d$ のアーティキュレート多様体 $\widetilde{M}$ に対して、$L^2$-ベッチ数 $b_n^{(2)}(\widetilde{M})$ が消えるか、正のまま保たれる条件は何か？
• RQ5 非アーベル群に一般化されたLehmerの問題として、どの群 $G$ に対して Lehmerの定数 $\Lambda(G)$ が $\Lambda(G) > 1$ を満たすか？

主な発見

• 与えられた設定のもとで、任意の $n$ および任意の体 $F$ に対して、正規化されたベッチ数 $b_n(X[i]; \mathbb{F}_p)/[G:G_i]$ は、$L^2$-ベッチ数 $b_n^{(2)}(\widetilde{X})$ に収束する。
• 次元 $d=2n$ のアーティキュレートな閉多様体 $M$ に対して、$L^2$-ベッチ数 $b_n^{(2)}(\widetilde{M})$ は $(-1)^n \cdot \chi(M)$ に等しく、$M$ が負曲率計量をもてば正である。
• 正規化されたランク勾配 $d(G_i)/[G:G_i]$ は、$b_1^{(2)}(G) = \operatorname{cost}(G) - 1$ に収束し、次元2では $-\chi(M)$ に等しい。
• 次元 $d=2n+1$ が奇数で $M$ が負曲率をもつとき、正規化されたtorsionの対数 $\ln|\operatorname{tors}(H_n(X[i]))|/[G:G_i]$ は $L^2$-torsion $\rho^{(2)}_{\operatorname{an}}(\widetilde{M})$ に収束する。
• $L^2$-torsion に対して、奇数次元のアーティキュレート多様体では $(-1)^n \cdot \rho^{(2)}_{\operatorname{an}}(\widetilde{M}) \geq 0$ が成り立ち、$M$ が負曲率計量をもてば $>0$ である。
• 特定の群に対して Lehmerの定数 $\Lambda(G)$ は $\Lambda(G) > 1$ を満たし、一般の群に対しては未解決のままであり、$\Lambda^{w}(G) \geq \Lambda(G)$ が成り立つ。