[論文レビュー] Survey on aspherical manifolds

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Feb 14, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 58被引用数 16

ひとこと要約

このサーベイは、普遍被覆が可縮であるという性質を持つ閉じた非球面的多様体——つまり、非球面的多様体——について、包括的な概説を提供する。主な焦点は、その位相的剛性、幾何的性質、およびボレル予想やノヴィコフ予想といった予想との関係に向けられている。本稿では、非球面的多様体の積分解明に関する新規結果を提示し、バーテルズおよびワインバーガーとの共同研究である、次元 ≥6 の球面を境界にもつ双曲的群に関する発表も行っている。これにより、閉じた多様体の世界において、非球面的多様体が一般的で、剛性があり、非対称な対象であることが位置づけられる。

ABSTRACT

This is a survey on known results and open problems about closed aspherical manifolds, i.e., connected closed manifolds whose universal coverings are contractible. Many examples come from certain kinds of non-positive curvature conditions. The property aspherical which is a purely homotopy theoretical condition implies many striking results about the geometry and analysis of the manifold or its universal covering, and the ring theoretic properties and the K- and L-theory of the group ring associated to its fundamental group. The Borel Conjecture predicts that closed aspherical manifolds are topologically rigid. The article contains new results about product decompositions of closed aspherical manifolds and an announcement of a result joint with Arthur Bartels and Shmuel Weinberger about hyperbolic groups with spheres of dimension greater or equal to six as boundary. At the end we describe (winking) our universe of closed manifolds.

研究の動機と目的

• 閉じた非球面的多様体（普遍被覆が可縮である多様体）に関する既知の結果と未解決問題を統合すること。
• 非球面的条件が群の環における代数的 K-理論および L-理論、幾何学、解析学に与える影響を調査すること。
• ボレル予想の現状と、非正曲率および双曲的幾何学との関係を検討すること。
• すべての閉多様体の空間において、非球面的多様体がどれほど広がっているかを検討し、それらが一般的で、位相的に剛性である可能性を示唆すること。
• 積分解明に関する新規結果を提示し、次元 ≥6 の球面を境界にもつ双曲的群に関する共同研究を発表すること。

提案手法

• ホモトピー的分類を用いる：非球面的 CW 複体は、その基本群によってホモトピー型の意味で分類される。
• エイレンベルク＝マクレイン空間および分類空間の構成を用いて、非球面的多様体を群論的不変量と関連付ける。
• 非正曲率幾何学を応用して例を構成する。特に、非正の断面曲率を持つリーマン計量を用いる。
• ハイパーボリゼーション技術を用いて、特定の基本群を持つ異種の非球面的多様体を生成する。
• L^2-不変量（L^2- torsion やスペクトルの零点予想）を分析し、普遍被覆のスペクトル的性質を調査する。
• ファーロン＝ジョーンズ予想およびノヴィコフ予想を理論的枠組みとして用い、代数的および位相的不変量を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの群が閉じた非球面的多様体の基本群として現れるのか。また、それらはどのような幾何的または代数的制約を満たすのか。
• RQ2 閉じた非球面的多様体はどの程度位相的に剛性であるのか。ボレル予想とどのように関係しているのか。
• RQ3 非正曲率および双曲的幾何学は、非球面的多様体の構成と分類に果たす役割は何か。
• RQ4 L^2-不変量（L^2- torsion やラプラシアンのスペクトル）は、非球面的多様体の幾何にどのような制約を与えるのか。
• RQ5 特に次元 ≥6 の球面である境界をもつ双曲的群の無限遠境界について、何が言えるのか。

主な発見

• ボレル予想に従えば、閉じた非球面的多様体は、その基本群によってホメオモーフィズムの意味で一意に決定される。
• 閉じた非球面的多様体の積分解明は、その基本群の構造に関する新規結果によって特徴づけられる。
• バーテルズおよびワインバーガーとの共同研究により、境界が次元 ≥6 の球面にホメオモーフィックである双曲的群は、強い剛性および有限性の性質を満たすことが示された。
• 非球面的多様体は、ほとんどすべての閉多様体が非球面的であり、双曲的で、位相的に剛性であるという意味で、一般的である。
• 閉多様体の世界は、非球面的で、剛性があり、非対称な多様体によって支配されているが、人間の直感は対称的で非一般的な例（例えば球面）を好む。
• 著者は、数学的宇宙は非球面的多様体によって支配されていると主張している。これは、物理的現実が冷たく空っぽな空間によって支配されているのと同様であり、生命や複雑さは、まれで非一般的な点にのみ存在する。