[論文レビュー] Survey on Classifying Spaces for Families of Subgroups

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Dec 19, 2003

Advanced Operator Algebra Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、位相群における部分群族の分類空間について包括的なサーベイを提供し、2つのバージョン—G-CW複体と可数G空間—を導入し、特定の条件下でそれらの同値性を示している。また、ほとんど連結群、語学的双曲群、算術群といった主要な群に対して幾何的モデルを構築し、K理論およびL理論の計算をこれらの空間上の等長的ホモロジーに還元することで、 Baum-Connes および Farrell-Jones 予想におけるその中心的役割を示している。

ABSTRACT

We define for a topological group G and a family of subgroups F two versions for the classifying space for the family F, the G-CW-version E_F(G) and the numerable G-space version J_F(G). They agree if G is discrete, or if G is a Lie group and each element in F compact, or if F is the family of compact subgroups. We discuss special geometric models for these spaces for the family of compact open groups in special cases such as almost connected groups G and word hyperbolic groups G. We deal with the question whether there are finite models, models of finite type, finite dimensional models. We also discuss the relevance of these spaces for the Baum-Connes Conjecture about the topological K-theory of the reduced group C^*-algebra, for the Farrell-Jones Conjecture about the algebraic K- and L-theory of group rings, for Completion Theorems and for classifying spaces for equivariant vector bundles and for other situations.

研究の動機と目的

• 部分群族の2つのバージョンの分類空間を定義し、比較する：G-CW複体バージョンと可数G空間バージョン。
• ほとんど連結群、語学的双曲群、算術群などの主要なケースにおいて、これらの分類空間の幾何的モデルを構築する。
• これらの分類空間の有限性条件（有限、有限型、有限次元モデル）を調査する。
• K理論およびL理論の主要な予想、特に Baum-Connes および Farrell-Jones 予想におけるこれらの空間の関連性を確立する。
• 等長的位相におけるこれらの空間の役割を明確化する。これには、完成定理や等長的バンドルの分類空間が含まれる。

提案手法

• 部分群族 $\frak{F}$ に属する安定型群をもつ $G$-CW複体として $E_{\frak{F}}(G)$ を定義し、$G$-等長的写像に関して普遍性を持つことにより特徴付ける。
• 可数 $G$-被覆を持つ $G$-不変な $G$-空間としての可数 $G$-空間バージョン $J_{\frak{F}}(G)$ を導入し、同様に $G$-等長的写像に関して普遍性を持つこととする。
• $G$ が離散群、$\frak{F}$ に含まれるコンパクト部分群をもつリー群、または $\frak{F}$ がコンパクト部分群の族である場合、$E_{\frak{F}}(G)$ と $J_{\frak{F}}(G)$ が $G$-同値ホモトピー型であることを証明する。
• 特定の族および群に対して、対称空間、テイヒミュラー空間、外部空間、リプス複体、ビルディング、および木を用いて幾何的モデルを構築する。
• 等長的ホモロジーと誘導構造を用い、$K$-群および $L$-群の計算を $E_{\mathcal{F}}(G)$ 上のホモロジーに還元する。特に、有限部分群および virtually 細胞的部分群の族に対して有効である。
• $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ のモデルを、$G$ に含まれる virtually 細胞的部分群 $V_i$ に対する $E_{\mathcal{FIN}}(V_i)$ のモデルを用いた $G$-プッシュアウト構成により構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分群族 $\frak{F}$ の $G$-CW複体バージョンと可数 $G$-空間バージョンの分類空間が $G$-同値ホモトピー型であるための条件は何か？
• RQ2 ほとんど連結群、語学的双曲群、算術群などのクラスの位相群において、$E_{\mathcal{FIN}}(G)$ および $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ の有限または有限次元モデルが存在する条件は何か？
• RQ3 部分群族の分類空間は、Farrell-Jones 予想を通じて群環の代数的 $K$-群および $L$-群の計算をどのように支援するか？
• RQ4 これらの分類空間は、位相的 $K$-理論の群 $C^*$-代数に対する Baum-Connes 予想の定式化および証明において、どのように機能するか？
• RQ5 有限または virtually 細胞的部分群 $H$ に対する固定点集合 $X^H$ は、$E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ のモデルの構造をどのように決定するか？

主な発見

• $G$ が離散群、$\frak{F}$ に含まれるコンパクト部分群をもつリー群、または $\frak{F}$ がコンパクト部分群の族である場合、$G$-CW複体バージョン $E_{\frak{F}}(G)$ と可数 $G$-空間バージョン $J_{\frak{F}}(G)$ は $G$-同値ホモトピー型である。
• ねじれをもつ離散群では、$EG$ が有限次元モデルを持たない場合でも $E_{\mathcal{FIN}}(G)$ が有限次元モデルを持つ可能性があり、その最小次元は仮想コhomological次元に関連している。
• $G$-プッシュアウト構成により、$G$ に含まれる virtually 細胞的部分群 $V_i$ に対する $E_{\mathcal{FIN}}(V_i)$ のモデルを用いて $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ のモデルが得られ、すべての有限および無限の virtually 細胞的 $H \subseteq G$ に対して $X^H$ は収縮可能である。
• $E_{\mathcal{FIN}}(G)$ および $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ は、Farrell-Jones 予想における関連する等長的ホモロジー理論の幾何的モデルを提供し、$K_n(RG)$ および $L_n(RG)$ を等長的ホモロジー群に還元する。
• $H_n^{V_i}(E_{\mathcal{VCYC}}(V_i), E_{\mathcal{FIN}}(V_i); \mathbf{K}_R)$ および $H_n^{V_i}(E_{\mathcal{VCYC}}(V_i), E_{\mathcal{FIN}}(V_i); \mathbf{L}_R^{\langle -\infty \rangle})$ の項には、$V_i$ の代数的 $K$-理論および $L$-理論における Nil 項および UNIL-項が含まれており、$R = \mathbb{Z}$ の場合、$L$-理論では2を逆数にした後、それらは有理数的に消える。
• 任意の $CW$-複体 $X$ に対して、$G \backslash E_{\mathcal{FIN}}(G)$ が $X$ とホモトピー同値となるような離散群 $G$ が存在する。これは、これらの軌道空間がホモトピー論において普遍的であることを示している。