[論文レビュー] Survey on entropy-type invariants of sub-exponential growth in dynamical systems

Adam Kanigowski, Anatole Katok+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 48被引用数 8

ひとこと要約

このサーベイは、ゼロエントロピー力学系におけるエントロピー型不変量について包括的にレビューしており、スローエントロピー、逐次エントロピー、およびエントロピー次元や収束速度といった関連不変量に焦点を当てる。近年の理論的進展を統合し、複雑性、スペクトル的性質、システム構造との関係を確立し、ランク1系、IET、ビリヤードなどの系におけるスローエントロピー推定および実現に関する未解決問題を特定する。

ABSTRACT

Measure-theoretic and topological entropy are classical invariants in the theory of dynamical systems. There are several recently developed entropy type invariants for systems of sub-exponential growth: sequence entropy, slow entropy, Kakutani invariants, scaled entropy, entropy dimensions and entropy convergence rate. They measure the complexity of zero entropy systems by different approaches. These new invariants and corresponding new theories have many applications and interesting properties. This survey paper gives a comprehensive exposition of the slow entropy theory and also discusses some related topics.

研究の動機と目的

• ゼロエントロピー力学系の複雑性を測るスローエントロピー理論の包括的解説を提供すること。
• トポロジカル、可測、記号的設定のあらゆる文脈において、逐次エントロピー、スローエントロピー、スケーリングエントロピー、エントロピー次元、収束速度といったエントロピー型不変量を統合的かつ比較的に扱うこと。
• スローエントロピーとスペクトル的性質（特に剛性系における可算レベーグスペクトルや特異スペクトル）との関係を明確にすること。
• スローエントロピー推定、近似による実現、および代表的系（区間移動変換やビリヤードなど）における成長率に関する未解決問題を特定・定式化すること。

提案手法

• 軌道セグメント間の時間平均距離度量（ハミング距離または積分度量）を用いた、測度論的およびトポロジカルなスローエントロピーの定式化を用いる。
• 一般化された Kushnirenko の不等式と、有効な場合には変分原理を適用し、異なるスケーリング列における軌道の増加とスローエントロピーを関連付ける。
• スペクトル理論と Koorpman 演算子を用いて、無限測度保存系におけるスローエントロピーとレベーグスペクトルとの関係を分析する。
• 準ユニポテンシャルフロー、ランク1系、AbC構成、および曲面フローといった特定の系クラスに対して、特化したエントロピー推定を用いる。
• 情報関数型 $ I_{\beta}(x) = -\log_2 \mu(\beta(x)) $ を用いてエントロピー収束速度を導入し、局所的成長とグローバルな複雑性を結びつける。
• 高速周期的近似を構成手法として用い、与えられたスローエントロピー成長率の実現可能性を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算レベーグスペクトルは、系の上側スローエントロピーに制限を課すか？
• RQ2 剛性変換がスケーリング $ a_n(t) = n^t $ に対して正の上側スローエントロピーを持つことは可能か？
• RQ3 区間移動変換（IET）のスローエントロピーは何か？また、$ a_n(t) = n^t $ に対して1に達する可能性はあるか？
• RQ4 オルンシュタイン混合性のランク1系は、任意の $ k > 0 $ に対して $ a_n(t) = n^{kt} $ に対して無限大の上側スローエントロピーを持つか？
• RQ5 任意の部分指数的スローエントロピーを高速周期的近似によって実現することは可能か？

主な発見

• スローエントロピーは Kakutani 同値に関して不変であり、トポロジカルおよび可測エントロピーがゼロである系を区別できる。
• ランク1系では、エントロピー収束速度は $ \log_2 n $ で上界をもつ。収束速度が $ \geq c \log_2 n $ であるような系は、対数的成長より速くはならない。
• ランク1系の上側スローエントロピーは $ O(n^2) $ で上界をもつ。これは Ferenczi の軌道複雑性に関する結果と整合的である。
• スケーリング $ \{n^2\} $ に対する逐次エントロピーは、ゼロエントロピー系に対しても正である可能性があるが、これは未解決の問題のままである。
• スローエントロピーは完全な変分原理を満たさないため、古典的エントロピーとは本質的な違いを示す。
• 曲面フローおよび高ランク作用の系では、スローエントロピーは非自明なスケーリング挙動を示し、幾何的および力学的手段を用いて推定がなされている。