[論文レビュー] Survival and Growth of a Branching Random Walk in Random Environment

Christian Bartsch, Nina Gantert+1 more|ArXiv.org|Jun 22, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非負整数上でのランダム環境における分岐ランダムウォークを研究しており、粒子は位置に依存する子孫分布に従って増殖し、位置に依存する確率で右に移動する。本稿では、全生存が人口モーメントの指数的増加と同値であることを確立し、生存時に粒子数がモーメントのそれと同一の指数的速率でほとんど確実に指数的に増加することを示している。

ABSTRACT

We consider a particular Branching Random Walk in Random Environment (BRWRE) on $\sN_0$ started with one particle at the origin. Particles reproduce according to an offspring distribution (which depends on the location) and move either one step to the right (with a probability in $(0,1]$ which also depends on the location) or stay in the same place. We give criteria for local and global survival and show that global survival is equivalent to exponential growth of the moments. Further, on the event of survival the number of particles grows almost surely exponentially fast with the same growth rate as the moments.

研究の動機と目的

• 分岐ランダムウォークが全的に生存する、すなわち人口がほとんど確実に絶滅しないような条件を特定すること。
• 全生存と人口モーメントの指数的成長率との間の明確な関係を確立すること。
• 生存を条件とした場合に、実際の粒子数がモーメントと同じ指数的速率でほとんど確実に増加することを示すこと。
• 部分加法的エルゴード定理を用いて導かれる関数βを用いて、期待人口の空間的プロファイルを分析すること。
• 移動と位置に依存する増殖・移動を伴う空間的設定において、古典的なランダム環境における分岐過程の結果を拡張すること。

提案手法

• ℕ₀ 上の i.i.d. ランダム環境における分岐ランダムウォークとしてシステムをモデル化し、位置に依存する子孫分布と右移動確率を設定する。
• 環境ωを、各サイトxにおける子孫分布μₓと右移動確率hₓの i.i.d. なペアの列として定義する。
• 全生存を分析するために、ランダム環境における埋め込み分岐過程を用い、モーメント生成関数およびリャプノフ関数の技法を活用する。
• 部分加法的エルゴード定理を適用して、期待人口がサイトxで指数的に増加する漸近的速率を記述する関数β(x)の存在を確立する。
• 生存閾値h_LSと全生存領域を特徴付けるために、φ(h) = ℰ[log(m₀h / (1 - m₀(1 - h)))] を導入する。
• 生存を条件とした上での大偏差論法を用いて、粒子数がモーメントと同じ指数的速率でほとんど確実に増加することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐ランダムウォークが全的に生存する条件は何か、すなわち人口がほとんど確実に絶滅しない条件は何か？
• RQ2 全生存は人口モーメントの指数的成長率とどのように関係しているか？
• RQ3 生存を条件とした場合、実際の粒子数のほとんど確実な増加率は何か？
• RQ4 期待人口の空間的分布はどのように変化するか？ そのプロファイルを記述する関数は何か？
• RQ5 全生存と絶滅を分かつ臨界閾値h_LSは、右移動確率hₓのどの値か？

主な発見

• 分岐ランダムウォークの全生存は、人口モーメントの指数的増加と同値である。
• 生存の事象が成立する場合、粒子数はモーメントと同じ指数的速率でほとんど確実に指数的に増加する。
• サイトxにおける期待粒子数の指数的増加率を記述する関数β(x)は存在し、部分加法的エルゴード定理を用いて特徴づけられる。
• 生存のための臨界閾値h_LS ∈ (0,1] は、φ(h_LS) = 0 という方程式によって定まる。ここでφ(h) = ℰ[log(m₀h / (1 - m₀(1 - h)))].
• M > 1（Mは平均子孫数m₀の本質的上界）であれば、h ∈ (h_LS, 1] の範囲に非自明な生存領域が存在し、全生存はかつてh > h_LSのときにのみ成立する。
• m₀が確率的であり、φ(h)が厳密に単調減少である場合、生存領域は厳密に(h_LS, 1] に含まれ、h_LS < 1 が可能であり、非自明な相転移が生じることを示唆する。