[論文レビュー] Survival probabilities of weighted random walks

Frank Aurzada, Christoph Baumgarten|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、i.i.d. で中心化された確率変数の重み付き和が一定のバリア以下にとどまる確率（生存確率）を、多項式的および指数的重み関数に対して調査する。多項式的重みの場合、指数モーメントを持つ広範な分布のクラスに対して、普遍的な生存指数 $ p + 1/2 $ を確立する。これはカップリングおよびスレピアンの不等式を用いて、既知のガウス分布の結果を拡張したものである。指数的重みの場合、普遍性は崩れ、崩壊率は分布に依存する。特にベルヌーイ分布の場合は $ \log 2 $ のレートで指数的崩壊を示し、普遍的な離散下界を上回る。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the probability that a weighted sum of centered i.i.d. random variables X_k does not exceed a constant barrier. For regular random walks, the results follow easily from classical fluctuation theory, while this theory does not carry over to weighted random walks, where essentially nothing seems to be known. First we discuss the case of a polynomial weight function and determine the rate of decay of the above probability for Gaussian X_k. This rate is shown to be universal over a larger class of distributions that obey suitable moment conditions. Finally we discuss the case of an exponential weight function. The mentioned universality does not hold in this setup anymore so that the rate of decay has to be determined separately for different distributions of the X_k. We present some results in the Gaussian framework.

研究の動機と目的

• 重み関数が決定論的である重み付きランダムウォークの生存確率 $ P[\sup_{n=1,\dots,N} Z_n \leq 0] $ の漸近的崩壊率を分析すること。
• 独立同一分布の増分を持つ未加重ランダムウォークに適用可能な古典的フラクチュエーション理論を、非定常増分を持つ重み付きランダムウォークに拡張すること。
• 多項式的重みの生存指数がガウス分布以外の分布に対しても普遍的かどうかを特定すること。
• 指数的重みの場合の普遍性の崩壊を調査し、特定の分布に対する崩壊率を計算すること。

提案手法

• 重み付きランダムウォークを $ Z_n = \sum_{k=1}^n \sigma(k) X_k $ としてモデル化する。ここで $ X_k $ はi.i.d. で中心化された確率変数であり、$ \sigma(k) $ は決定論的重み関数である。
• ガウス分布の場合、時間点 $ \kappa(n) = \sum_{k=1}^n \sigma(k)^2 $ におけるブラウン運動への等価性を用い、問題をブラウン運動の最初の通過時刻に還元する。
• スレピアンの不等式および Koml\'os-Major-Tusn\'ady カップリングを用い、モーメント条件の下でガウス分布から非ガウス的増分への結果の拡張を実行する。
• 指数的重みの場合、$ \kappa(n) \asymp e^{2\beta n} $ である離散過程 $ B_{\kappa(n)} $ を分析し、連続時間のオーナイユ・プロセスと比較する。
• 大偏差技法およびドリフト付きブラウン運動の上界の制御に用いる。
• i.i.d. 増分が指数モーメントを持つすべての分布に対して、生存指数 $ \theta = p + 1/2 $ が成り立つことを証明することで、多項式的重みにおける普遍性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的重み $ \sigma(n) \asymp n^p $ を有する重み付きランダムウォークの生存確率の漸近的崩壊率は何か？
• RQ2 指数モーメントを持つすべてのi.i.d. 増分に対して、生存指数 $ p + 1/2 $ は普遍的か、それとも分布に依存するか？
• RQ3 指数的重み関数 $ \sigma(n) = e^{\beta n} $ の場合、生存確率はどのように振る舞い、普遍性は依然として成り立つか？
• RQ4 指数的重みの離散生存確率は普遍的レートで下から抑えられるか。連続時間アナログと比較するとどうなるか？

主な発見

• 多項式的重み $ \sigma(n) \asymp n^p $ の場合、生存確率は $ N^{-(p+1/2)+o(1)} $ のレートで崩壊し、指数 $ \theta = p + 1/2 $ は指数モーメントを持つすべてのi.i.d. 増分に対して普遍的である。
• ガウス分布の場合、ブラウン運動近似により生存指数が導出される。ここで $ \kappa(N) \asymp N^{2p+1} $ であり、$ P[\sup_{n \leq N} B_{\kappa(n)} \leq 0] = N^{-q/2 + o(1)} $ と表され、$ q = 2p+1 $ である。
• 指数的重み $ \sigma(n) = e^{\beta n} $ の場合、生存確率は $ \exp(-cN) $ のレートで指数的崩壊を示し、ブラウン運動では $ c > \log 2 $ である。一方、i.i.d. ラダマッカー増分では、正確に $ 2^{-N} $ のレートで崩壊する。
• 指数的重みの場合、生存指数の普遍性は崩れる。特に、ラダマッカー増分では崩壊率が $ \log 2 $ であり、離散設定における普遍的下界 $ \log 2 $ よりも速い。
• 重み $ \sigma(n) = e^{\beta n} $ を持つ離散過程では、生存確率は $ 2^{-N} $ よりも厳密に大きい。これは、離散時間および連続時間プロセスの崩壊レートが異なることを示している。
• Koml\'os-Major-Tusn\'ady カップリングにより、三番目の絶対モーメント条件を満たす限り、モーメント条件の下で非同一分布の増分に対しても結果を拡張可能である。