[論文レビュー] SUSY field theories, integrable systems and their stringy/brane origin -- II

A. Gorsky, Sergey Gukov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、物質を含む5次元および6次元の超対称ゲージ理論と可積分系の間の対応関係を確立している。具体的には、5次元理論に対してはねじれXXZスピンチェーン、6次元理論に対してはスクライニン代数に基づくXYZスピンチェーンを用いる。これらの可積分系のスペクトル曲線および生成1形式が、ゲージ理論のセイバーグ＝ウィッテン汎関数を再現することを示しており、$S^1$および$T^2$へのコンパクト化によって、場の理論のダイナミクスがブレーンおよび幾何学的エンジニアリングの枠組みと結びついている。また、スクライニン代数のパrameterは、モジュライ空間および量子構造を符号化している。

ABSTRACT

Five and six dimensional SUSY gauge theories, with one or two compactified directions, are discussed. The 5d theories with the matter hypermultiplets in the fundamental representation are associated with the twisted $XXZ$ spin chain, while the group product case with the bi-fundamental matter corresponds to the higher rank spin chains. The Riemann surfaces for $6d$ theories with fundamental matter and two compact directions are proposed to correspond to the $XYZ$ spin chain based on the Sklyanin algebra. We also discuss the obtained results within the brane and geometrical engeneering frameworks and explain the relation to the toric diagrams.

研究の動機と目的

• 5次元および6次元の$N=1$SUSYゲージ理論（物質を含む）と有限次元可積分系との間の対応関係を確立すること。
• これらの理論のクーロン枝の幾何学的構造が、対応する可積分モデルのスペクトル曲線および生成1形式に符号化されていることを示すこと。
• 場の理論のモジュライ空間および汎関数が、スクライニンおよびXXZスピンチェーンの代数的構造とどのように関連しているかを明らかにすること。
• M理論およびタイプIIAのCalabi-Yau3-foldへのコンパクト化を通じて、ブレーン配置および幾何学的エンジニアリングの枠組み内で結果を解釈すること。
• 量子群の対称性およびスクライニン代数が、低エネルギー有効作用に果たす役割、特にコンパクト化された次元の文脈で明確にすること。

提案手法

• 本稿では、Seiberg-Wittenの仮説を用いて、可積分系のスペクトル曲線および生成1形式$dS$から汎関数を導出する。
• 5次元の$SU(N_c)$理論（フェルミオン物質を含む）は、$N_c$個のサイトを持つねじれXXZスピンチェーンによって記述されると特定される。
• 6次元理論（フェルミオン物質を含む）に対しては、スクライニン代数に基づくXYZスピンチェーンが可積分系として特定され、スペクトル曲線はスクライニン代数のラクス行列から導出される。
• 生成1形式$dS$は、$dS^{XYZ} = -d\tilde{\rho} + d(\rho \log w)$として構成され、ここで$\tilde{\rho}$はスペクトル曲線の対数微分に関連する。
• この手法では、モジュライの変動をスペクトル曲線を通して分析し、$\delta dS$が曲線上の正則1形式を生成することを示す。
• ブレーンエンジニアリングとの関係は、$R^4 \times S^1$および$R^4 \times T^2$へのコンパクト化を、ADE特異性をもつCalabi-Yau3-foldへのM理論およびタイプIIAコンパクト化と関連付けることで確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元$N=1$SUSYゲージ理論（物質を含む）のクーロン枝モジュライ空間は、どのように可積分系と関連しているか？
• RQ2 6次元$N=1$SUSYゲージ理論（フェルミオンハイパーマトリクスを含む）の背後にある正確な可積分系は何か？
• RQ3 XXZおよびXYZスピンチェーンのスペクトル曲線および生成1形式は、5次元および6次元のSeiberg-Witten汎関数をどのように再現するか？
• RQ4 スクライニン代数およびそのパrameterは、6次元理論のモジュライ空間および量子構造を符号化する上で果たす役割は何か？
• RQ5 6次元から5次元および4次元への次元削減は、有効なストリング、1形式およびインスタントンが可積分系構造とどのように関連しているか？

主な発見

• 5次元の$SU(N_c)$SUSYゲージ理論（物質を含む）は、$N_c$個のサイトを持つねじれXXZスピンチェーンによって記述され、そのスペクトル曲線はXXZチェーンのそれと一致する。
• 5次元理論の汎関数、特に立方項のChern-Simons項を含むものも、可積分系によって完全に決定され、固定係数をもつ既知の摂動的結果と一致する。
• 6次元の$SU(N_c)$理論（$N_f = 2N_c$のフェルミオンハイパーマトリクスを含む）は、スクライニン代数に基づくXYZスピンチェーンに対応し、スペクトル曲線は代数のラクス行列から導出される。
• XYZ系の生成1形式$dS$は、$dS^{XYZ} = -d\tilde{\rho} + d(\rho \log w)$として構成され、その変動はスペクトル曲線上の正則1形式を生成する。
• 6次元理論の純粋ゲージ極限は、すべてのハイパーマトリクス質量を無限大にとることに対応し、仮説的な「楕円型Todaチェーン」に至るが、スクライニン代数のパrameterに課せられる制約のため、完全な退化は実現されていない。
• 6次元理論のブレーン配置は、$x^5$-$x^6$平面に存在する5-braneに終わる6-braneセグメントとして解釈され、$T^2$トーラスの複素構造がスクライニン代数のパrameterを符号化している。