[論文レビュー] Suzuki-Ree groups as algebraic groups over $\mathbb{F}_{\sqrt{\smash[b]p}}$

Tom De Medts, Karsten Naert|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、同型写像 $F$（例えばフロベニウス写像）を用いた恒等ファンクターの自己準同型を用いて、新しい「ねじれ」および「混合」カテゴリの概念を導入し、Suzuki–Ree群と混合群が、'ねじれ体' $ℂ_{\sqrt{p}}$ 上の代数群の有理点として生じることを示すフレームワークを提示する。主な貢献は、$ℂ_{\sqrt{p}}$ から $ℂ_p$ へのベースチェンジがねじれ群を混合群に変換することを示し、ねじれ降下理論がこの構成から生じる混合群を同定できることを示したことである。

ABSTRACT

Among the infinite classes of finite simple groups, the most exotic classes are probably the Suzuki groups and the Ree groups. They are "twisted versions" of groups of Lie type, but they cannot be directly obtained as groups of rational points of a suitable linear algebraic group. We provide a framework in which these groups do arise as groups of rational points of algebraic groups over a "twisted field"; in the finite case, such a twisted field can be interpreted as a "field with $\sqrt{\smash[b]p}$ elements". Our framework at once allows for other, perhaps less known, exotic families of groups. Most notably, there is a class of "mixed groups", introduced by J. Tits but also apparent in the work of Steinberg, and we show that they can be obtained as groups of rational points of algebraic groups over a "mixed field". We show that a base change from $\mathbb{F}_{\sqrt{\smash[b]p}}$ to $\mathbb{F}_p$ transforms twisted groups into mixed groups, and we formulate a notion of "twisted descent" that allows to detect which mixed groups arise in this fashion.

研究の動機と目的

• 有限体上の標準的代数群の有理点として表せないSuzuki–Ree群を、統一的な代数的幾何的枠組みで扱うこと。
• 要素数が $p^{(2n+1)/2}$ 個であるような体は存在しないという基礎的問題を、$ℂ_{\sqrt{p}}$ のような 'ねじれ体' の導入により解決すること。
• Titsが導入した混合群に対しても、この枠組みを拡張し、それが混合代数群の有理点として生じることを示すこと。
• ねじれカテゴリから混合カテゴリへのベースチェンジ関手を確立し、Suzuki–Ree群と混合群を結びつけること。
• ベースチェンジによるねじれ群から生じる混合群を同定する基準として、'ねじれ降下'を定式化すること。

提案手法

• 恒等ファンクターの自己準同型 $F$ を用いて、ねじれ対象のカテゴリを定義する（通常はフロベニウス写像）。
• 対象とその逆同型が整合的であるペアとして、降下データを形成する混合対象のカテゴリを構成する。
• ベースチェンジによるねじれ対象から生じる混合対象を同定するための 'ねじれ降下' の概念を導入する。
• $ℂ_{\sqrt{p}}$ から $ℂ_p$ へのベースチェンジ関手を用いて、ねじれ代数群を混合代数群に変換する。
• 得られた有理点の群が、新規の枠組みによりSuzuki–Ree群および混合群として回復されることを示す。
• ルート系の双対性が構成を可能にするため、Dynkin図形 $ℂ_n$, $ℂ_n$, $ℂ_4$, および $ℂ_2$ に対して理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Suzuki–Ree群は、$ℂ_{\sqrt{p}}$ のような 'ねじれ体' 上の代数群の有理点として実現可能か？
• RQ2 Titsが導入した混合群は、'混合体' 上の代数群の有理点として、体系的にどのように構成可能か？
• RQ3 $ℂ_{\sqrt{p}}$ 上のねじれ群と $ℂ_p$ 上の混合群の間の明確な関係は何か？
• RQ4 どの混合群がねじれ群のベースチェンジとして生じるか？ その条件は何か？
• RQ5 降下理論は、混合群からねじれ群を回復する際に果たす役割は何か？

主な発見

• Suzuki–Ree群 ${}^{2}\mathsf{B}_{2}(2^{2n+1})$, ${}^{2}\mathsf{F}_{4}(2^{2n+1})$, および ${}^{2}\mathsf{G}_{2}(3^{2n+1})$ は、すべて $ℂ_{\sqrt{p}}$ 上のねじれ線型代数群の有理点として生じる。
• Titsの混合ビルディングから得られる混合群も、$ℂ_p$ 上の混合線型代数群の有理点として生じる。
• $ℂ_{\sqrt{p}}$ から $ℂ_p$ へのベースチェンジは、ねじれ群を混合群に変換する。
• 混合群がねじれ降下を満たすための必要十分条件は、$\tau f \circ f = \mathrm{id}$ を満たす自己準同型 $f$ が存在することであり、このとき $\operatorname{\mathbf{c}}_1 \cong \operatorname{\mathbf{c}}_2$ が成り立つ。
• ねじれ対象のカテゴリは、$\tilde{X} \mapsto (\operatorname{twix}\tilde{X}, \mathrm{id})$ を通じて、降下データを備えた混合対象のカテゴリに完全かつ忠実に埋め込まれ、全範図同型が成り立つ。
• この枠組みは、すべてのDynkin型 $ℂ_n$, $ℂ_n$, $ℂ_4$, および $ℂ_2$ に適用可能であり、$\mathsf{B}_2 \cong \mathsf{C}_2$ となる $\mathsf{B}_2$ 型が唯一の例外であり、Suzuki群の構成を可能にする。