[論文レビュー] Swap connectivity for two graph spaces between simple and pseudo graphs and disconnectivity for triangle constraints

Joel Nishimura|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単純グラフと擬似グラフの間の2つのグラフ空間である多重ループ付きグラフ（複数の自己ループを許可、多重辺を不許可）およびループ付き多重グラフ（多重辺と単一の自己ループを許可）における二重辺スワップマルコフ連鎖の接続性を調査する。本稿では、任意の次数列に対して、二重辺スワップがすべてのループ付き多重グラフを一様にサンプリング可能であることを証明するが、特定の次数列に対してはすべての多重ループ付きグラフを一様にサンプリングできないことを示し、その次数列は完全に同定されている。本研究は、単純グラフと擬似グラフの間のグラフ空間における自己ループと多重辺のすべての組み合わせについて、スワップベースのMCMCの接続性を完全に分類する。

ABSTRACT

With sufficient time, double edge-swap Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods are able to sample uniformly at random from many different and important graph spaces. For instance, for a fixed degree sequence, MCMC methods can sample any graph from: simple graphs; multigraphs (which may have multiedges); and pseudographs (which may have multiedges and/or multiple self-loops). In this note we extend these MCMC methods to `multiloop-graphs', which allow multiple self-loops but not multiedges and `loopy-multigraphs' which allow multiedges and single self-loops. We demonstrate that there are degree sequences on which the standard MCMC methods cannot uniformly sample multiloop-graphs, and exactly characterize which degree sequences can and cannot be so sampled. In contrast, we prove that such MCMC methods can sample all loopy-multigraphs. Taken together with recent work on graphs which allow single self-loops but no multiedges, this work completes the study of the connectivity (irreducibility) of double edge-swap Markov chains for all combinations of allowing self-loops, multiple self-loops and/or multiedges. Looking toward other possible directions to extend edge swap sampling techniques, we produce examples of degree and triangle constraints which have disconnected spaces for all edges swaps on less than or equal to 8 edges.

研究の動機と目的

• 固定された次数列に対して、二重辺スワップマルコフ連鎖が多重ループ付きグラフ空間およびループ付き多重グラフ空間のすべてのグラフを一様にサンプリングできるかどうかを同定すること。
• 二重辺スワップが多重ループ付きグラフ空間のグラフのグラフ（gog）を接続しないための正確な条件を同定すること。
• 単純グラフと擬似グラフの間のグラフ空間における自己ループと多重辺のすべての組み合わせについて、スワップベースのMCMC接続性を完全に分類すること。
• 三角形制約（固定された三角形数や三角形列）の下でグラフをサンプリングする際のエッジスワップ手法の制限を検討すること。

提案手法

• 本稿では、各次数列に対して、ノードがグラフを表し、エッジが有効な二重辺スワップを表すグラフのグラフ（gog）を構築する。
• 組合せ論的および構造的グラフ理論を用いて、多重ループ付きグラフおよびループ付き多重グラフのgogの非可約性（接続性）を分析する。
• 次数列の性質に基づき、多重ループ付きグラフのgogの非接続性の正確な必要十分条件を導出する。
• 最大8本の辺を含む具体例を提示することで、固定された三角形数や三角形列の下で二重辺スワップがすべてのグラフを接続できないことを示す。
• 制約付きグラフ空間におけるkエッジスワップ（例：3-および4エッジスワップ）の挙動を比較し、小さなグラフですら非接続となることを示す。
• 全数列挙と同型類の分析を用いて、特定のケース（例：4つの三角形を含む次数列や特定の三角形列）における非接続性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次数列に対して、多重ループ付きグラフ空間における二重辺スワップの下でグラフのグラフ（gog）が非接続的になるか？
• RQ2 固定された次数列に対して、二重辺スワップはすべてのループ付き多重グラフを一様にサンプリングできるか？
• RQ3 三角形制約（固定された三角形数や頂点ごとの三角形数）を含む組み合わせにおいて、小さなグラフであっても、二重辺スワップのシーケンスがすべてのグラフを接続できない場合があるか？
• RQ4 三角形制約（固定された三角形数や頂点ごとの三角形数）は、エッジスワップMCMCサンプラーの接続性にどのように影響するか？
• RQ5 三角形制約付き空間における非接続性の問題は、バイアス付きまたは重要度加重サンプリング手法の有効性をどの程度制限するか？

主な発見

• ループ付き多重グラフのグラフのグラフは、すべての次数列に対して接続的であり、二重辺スワップMCMC手法がすべてのグラフを一様にサンプリング可能であることを意味する。
• gogが非接続的になる次数列が存在し、本稿ではそれが完全に同定されている。
• 本稿は、与えられた次数列が多重ループ付きグラフ空間における非接続的gogを引き起こすかどうかを特定する正確な基準を提示する。
• 正確に4つの三角形を含む次数列（例：{3,3,3,3,2,2,2,2}）では、二重辺スワップの下で2つの同型類が非接続的であり、接続には少なくとも8回の辺変更が必要である。
• 8本の辺を含む小さなグラフに対しても、次数列と三角形列の組み合わせによっては、二重辺スワップのシーケンスがすべてのグラフを接続できないことがあり、スワップベースのサンプリングに根本的な制限があることを示している。
• 非接続性の問題は、自己ループに関する既知の問題よりも深刻で一般的であり、同型類が多数の辺で異なるため、厳密なサンプリング手法およびバイアス付きサンプリング手法の両方を困難にしている。