[論文レビュー] Swapping Lemmas for Regular and Context-Free Languages

Tomoyuki Yamakami|ArXiv.org|Aug 29, 2008

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、入力長にのみ依存するアドバイス文字列を伴う状況下で、従来のポンピング・レムマの代わりにスワッピング・レムマを導入する。構造的変換の過程でもアドバイスの有効性を保つことで、$\text{Equal}$, $\text{GT}$, $\text{Pal}$, $\text{Dup}$ などの言語が $\mathrm{REG}/n$ や $\mathrm{CFL}/n$ に属さないことを示し、$\mathrm{DCFL}/n$ と $\mathrm{REG}/n$ の間、および $\mathrm{CFL}/n$ と $\mathrm{CFL}$ の間の分離を確立する。この手法は、ピーコンの原理とスタック解析に基づくプッシュダウンオートマトンにおけるアドバイス付きの分析に依存する。

ABSTRACT

In formal language theory, one of the most fundamental tools, known as pumping lemmas, is extremely useful for regular and context-free languages. However, there are natural properties for which the pumping lemmas are of little use. One of such examples concerns a notion of advice, which depends only on the size of an underlying input. A standard pumping lemma encounters difficulty in proving that a given language is not regular in the presence of advice. We develop its substitution, called a swapping lemma for regular languages, to demonstrate the non-regularity of a target language with advice. For context-free languages, we also present a similar form of swapping lemma, which serves as a technical tool to show that certain languages are not context-free with advice.

研究の動機と目的

• 入力長に依存するアドバイス文字列を伴う正規言語および文脈自由言語を分析する際、標準的なポンピング・レムマの限界を解決すること。
• 文字列の構造的変換の過程でもアドバイスの有効性を保つ新しい技術的ツール、つまりスワッピング・レムマを開発すること。
• 例えば $\text{Equal}$, $\text{GT}$, $\text{Pal}$, $\text{Dup}$ のような自然な言語が、アドバイスなしでは正規または文脈自由であるが、$\mathrm{REG}/n$ や $\mathrm{CFL}/n$ に属さないことを証明すること。
• 従来未知であった、$\mathrm{DCFL}/n \neq \mathrm{REG}/n$ のようなアドバイス付き言語族の間の新たな分離を確立すること。

提案手法

• ピーコンの原理に基づく正規言語用のスワッピング・レムマを提案し、文字列の操作の後でもアドバイス文字列が有効であることを保証する。
• 言語に属する文字列から、インデックス・トリプル $(i,j,v,w)$ を表す集合 $\Delta$ への写像 $e: S \to \Delta$ を定義する。ここで $\Delta$ は有限オートマトンにおける区間とスタック記号を表す。
• 非決定的プッシュダウンオートマトン（npda）におけるスタック遷移の解析を用いて、スタック高さが一定のまま保たれる区間を同定し、有効なスワップ候補の構築を可能にする。
• 背理法を適用する：$\Delta$ の同じインデックスに多くの文字列がマッピングされると、二つの異なる部分文字列 $u \neq z$ が同じアドバイス設定にマッピングされ、重要な仮定に反する。
• lexicographic 最小性条項を用いて、文字列からインデックス要素への割り当てを一意に定義し、マッピングの一貫性を保証する。
• 受理計算パスの構造とスタック内容の変化を活用して、言語属するという仮定が破られた場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力長に依存するアドバイスを伴う言語に対して、標準的なポンピング・レムマは非正規性を効果的に証明できるか？
• RQ2 文字列の操作の過程でもアドバイスの有効性を保つ構造的レムマは存在するか？ これにより、アドバイス付きオートマトンにおけるより強い非属性証明が可能になるか？
• RQ3 スワッピング・レムマは文脈自由言語へ拡張可能か？ これにより $\mathrm{CFL}/n$ への非属性証明が可能になるか？
• RQ4 スワッピング・レムマを用いて、どのような新たなアドバイス付き言語クラスの分離を確立できるか？
• RQ5 アドバイスなしでは正規または文脈自由であるが、$\text{Equal}$, $\text{GT}$, $\text{Pal}$, $\text{Dup}$ などの言語が $\mathrm{REG}/n$ や $\mathrm{CFL}/n$ の外にあるか？

主な発見

• 言語 $\text{Equal} = \{w \in \{0,1\}^* \mid \#_0(w) = \#_1(w)\}$ は $\mathrm{REG}/n$ に属さない。これにより $\mathrm{DCFL}/n \neq \mathrm{REG}/n$ が示される。
• 言語 $\text{GT} = \{w \in \{0,1\}^* \mid \#_0(w) > \#_1(w)\}$ は $\mathrm{REG}/n$ に属さない。これにより $\mathrm{DCFL}/n$ と $\mathrm{REG}/n$ の間の分離がさらに支持される。
• 言語 $\text{Pal} = \{ww^R \mid w \in \{0,1\}^*\}$ は $\mathrm{REG}/n$ に属さない。これは、文脈自由言語であっても、有限オートマトンにアドバイスを付与しただけでは認識できないことを示している。
• 言語 $\text{Dup} = \{ww \mid w \in \{0,1\}^*\}$ は $\mathrm{CFL}/n$ に属さない。これにより $\mathrm{CFL}/n \neq \mathrm{CFL}$ が証明される。
• スワッピング・レムマは、アドバイスが関与する際のポンピング・レムマの欠陥を効果的に克服し、アドバイス付き言語クラスにおける直接的かつ妥当な非属性証明を可能にする。