[論文レビュー] Sweeping processes with stochastic perturbations generated by a fractional Brownian motion

Adrian Falkowski, S Leszek|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Hurst指数 H > 1/2 を持つ分数 Browm運動（fBm）によって駆動される確率的スイーピング過程の適切性（well-posedness）を、経路ごとの Riemann-Stieltjes 積分を用いて確立する。決定的近似技術を用いて、解の存在、一意性、および p-変動安定性を証明し、非半マルティンゲール的 fBm 駆動ダイナミクスと反射壁を持つ古典的な Skorokhod 問題理論を拡張する。

ABSTRACT

We study well-posedness of sweeping processes with stochastic perturbations generated by a fractional Brownian motion and convergence of associated numerical schemes. To this end, we first prove new existence, uniqueness and approximation results for deterministic sweeping processes with bounded $p$-variation and next we apply them to the stochastic case.

研究の動機と目的

• 分数 Browm運動（fBm）によって摂動されるスイーピング過程の解の存在と一意性を確立すること。
• 非半マルティンゲール的分数 Browm運動のケースに、Skorokhod 問題および確率的微分包含の理論を拡張すること。
• fBm 駆動スイーピング過程の解を近似する数値スキームの収束理論を構築すること。
• 駆動信号および壁のダイナミクスと関連して、レギュレータ過程の p-変動を分析すること。
• 有界 p-変動を持つ決定的スイーピング過程の結果を、fBm の摂動を伴う確率的設定へ一般化すること。

提案手法

• fBm は半マルティンゲールでないため、経路ごとの Riemann-Stieltjes 積分を用いて、fBm に関する確率的積分を定義すること。
• 有界 p-変動関数を用いた決定的スイーピング過程理論を応用し、近似を構築すること。
• レギュレータ過程の比較を通じて、2つの解の差の p-変動ノルムにおける事前推定を確立すること。
• Skorokhod 問題の定式化の使用：X_t = X_0 + ∫f(s,X_s)ds + ∫g(s,X_s)dB^H_s + K_t であり、X_t ∈ C_t かつ dK_t ∈ N(C_t; X_t) を満たす。
• càdlàg 関数空間 D(R+; R^d) 内での離散化および極限の議論を通じて、p-変動安定性を証明すること。
• fBm のパスの Hölder 連続性（λ < H）を活用し、Riemann-Stieltjes 積分の存在を保証するとともに、変動ノルムの制御を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数 Browm運動（fBm）によって駆動されるスイーピング過程が、Skorokhod 問題の意味で一意な解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 レギュレータ過程 K_t の p-変動は、駆動信号および壁のダイナミクスの p-変動とどのように関係するか？
• RQ3 古典的な Skorokhod 問題フレームワークを、分数 Browm運動のような非半マルティンゲール的ノイズへ拡張できるか？
• RQ4 fBm 駆動スイーピング過程の数値スキームの収束を保証する条件は何か？
• RQ5 p-変動位相において、ドリフト、拡散、および壁関数の摂動に対して、解はどのように振る舞うか？

主な発見

• 係数および壁に適切な正則性と有界 p-変動の仮定がおきる条件下で、fBm 駆動スイーピング過程の解は存在し、一意的である。
• 2つの解のレギュレータ過程の差は、p-変動推定式 V_p(K^1 - K^2)_T ≤ V_p(Y^1 - Y^2)_T を満たす。ここで Y^i_t = ∫f^i(s,X^i_s)ds + ∫g^i(s,X^i_s)dB^H_s である。
• レギュレータ過程の p-変動は、駆動信号の p-変動によって制御され、摂動に対して安定性が確立される。
• ステップ関数近似に基づく数値スキームの収束は、Skorokhod 空間 D(R+; R^d) 内での極限議論により証明される。
• 半マルティンゲール積分を経路ごとの Riemann-Stieltjes 積分に置き換えることで、ブラウン運動に関する古典的結果を fBm へ拡張する。
• càdlàg で有界 p-変動を持つ境界を持つ動的凸集合 C_t = [L_t, U_t] に対しても理論が適用可能であり、存続性および反射が保証される。