[論文レビュー] Symbolic Computation of Conserved Densities, Generalized Symmetries, and Recursion Operators for Nonlinear Differential-Difference Equations

Willy Hereman, Jan A. Sanders+2 more|ArXiv.org|Nov 16, 2003

Numerical methods for differential equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形微分差分方程式（DDEs）における保存密度、フラックス、一般化対称性、再帰作用素の記号的計算アルゴリズムを提示する。離散フレネチおよび変分導関数、離散ホモトピーおよびオイラー作用素を用いる。主たる貢献は、Kac-van Moerbeke、Toda、Ablowitz-Ladikといった代表的な格子の完全可積分性を、無限階の対称性および再帰作用素の計算によって確認できる、システマティックでコンピュータ代数システムに適したフレームワークを提供することである。修正ボルテラ格子およびAL格子についても明示的な結果が得られている。

ABSTRACT

Algorithms for the symbolic computation of conserved densities, fluxes, generalized symmetries, and recursion operators for systems of nonlinear differential-difference equations are presented. In the algorithms we use discrete versions of the Frechet and variational derivatives, as well as discrete Euler and homotopy operators. The algorithms are illustrated for prototypical nonlinear lattices, including the Kac-van Moerbeke (Volterra) and Toda lattices. Results are shown for the modified Volterra and Ablowitz-Ladik lattices.

研究の動機と目的

• 非線形微分差分方程式（DDEs）における保存密度およびフラックスを計算する記号的アルゴリズムの開発を目的とし、自動可積分性テストを可能にする。
• 連続PDEからの手法を、離散的半離散格子へと拡張する。変分導関数およびホモトピー作用素の離散版を用いる。
• 無限階の一般化対称性を生成する再帰作用素を構築し、DDEの完全可積分性を確認することを目的とする。
• これらのアルゴリズムをコンピュータ代数システムに実装し、不変量および対称性の記号的計算を目的としたMathematicaパッケージを提供することを目的とする。
• Kac-van Moerbeke、Toda、Ablowitz-Ladik、および修正ボルテラ系といった代表的な可積分格子に対して、このフレームワークを実証することを目的とする。

提案手法

• 零次変分方程式を解くことで、離散フレネチおよび変分導関数を用いて保存密度およびフラックスを計算する。
• 離散ホモトピー作用素により、フラックスの記号的積分が可能となり、1パラメータスケーリング積分に帰着される。これは連続系と類似している。
• フレネチ導関数および変分導関数条件に基づく再帰的アルゴリズムを用いて、高階の一般化対称性を計算する。
• 行列型再帰作用素は、対称性条件から導かれる線形方程式系を解くことで構築され、離散シフト作用素（D）および単位作用素（I）を用いる。
• 連続PDEと離散DDEとの類似性を、複体およびリー代数的構造を用いて形式化し、既存のPDEアルゴリズムを離散設定に適応する。
• シフト作用素の逆（D−I）−1およびシフト変数の有理関数を用いて、再帰作用素の明示的公式を導出。特定の格子で結果を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形DDEにおける保存密度およびフラックスは、どのように離散変分法を用いて記号的に計算できるか？
• RQ2 連続系におけるホモトピー作用素の離散版とは何か？ そして、フラックスの効率的計算にどのように応用できるか？
• RQ3 非線形DDEに対して、任意の順序の一般化対称性を体系的に生成する方法は何か？
• RQ4 半離散可積分系における再帰作用素の構造は何か？ そして、記号的にどのように計算できるか？
• RQ5 この記号的計算フレームワークは、Ablowitz-Ladikおよび修正ボルテラ方程式といった代表的格子の可積分性を確認するために応用可能か？

主な発見

• Kac-van Moerbeke格子およびToda格子は、保存密度、対称性、再帰作用素の記号的計算により、完全可積分性が確認された。
• 修正ボルテラ格子に対しては、非多項式密度（1/unおよびln(un)）を2つ計算し、D−1および(D−I)−1項を含む再帰作用素を導出した。
• Ablowitz-Ladik格子は、逆再帰作用素を有することが示され、これは稀で重要な性質である。明示的な行列成分はPn = 1 + unvnおよびΔ = D−Iを用いて表現された。
• Toda格子の再帰作用素は、2×2行列として明示的に構築され、un、vnおよび逆シフト作用素(D−I)−1の項を含む。係数は線形方程式系を解くことで決定された。
• 記号的フレームワークにより、Ablowitz-Ladik格子に対して最初の幾つかの対称性および保存密度が生成され、無限階の対称性の階層が確認された。
• この手法により、Mathematicaパッケージを用いた半離散格子の自動可積分性テストが可能となり、再帰作用素の計算は現在開発中である。