[論文レビュー] Symbolic dynamics for surface diffeomorphisms with positive topological entropy

Omri Sarig|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の位相的エントロピーをもつ曲面微分同相写像に対して可算なマルコフ分割を構成し、位相的エントロピー未満の任意のエントロピー閾値に対して、全測度の不変集合上で記号的力学を可能にする。主な結果として、J. Buzziの予想である、このような系が最大エントロピーをもつ至高測度を高々可算個もつことと、A. Katokの周期点の指数的増加に関する予想である、C^1+β微分同相写像に対してlimsup e^{-nh_top}P_n(f) > 0 が成り立つことの証明を行う。

ABSTRACT

Suppose f is a C^{1+ε} surface diffeomorphism with positive topological entropy. For every positive δstrictly smaller than the topological entropy of f we construct an invariant Borel set E such that (a) f|E has a countable Markov partition; and (b) E has full measure with respect to any ergodic invariant probability measure with entropy larger than δ. This allows us to prove the following conjecture of A. Katok: if f is C^\infty with topological entropy h>0, and if P_n(f)=#{x:f^n(x)=x}, then limsup P_n(f)/exp(nh)>0.

研究の動機と目的

• C^1+β微分同相写像で位相的エントロピーが正であるような曲面に対して、可算なマルコフ分割を用いて記号的力学を確立すること。
• J. Buzziの予想である、最大エントロピーをもつ至高測度の可算性を解明すること。
• C^∞曲面微分同相写像に対して、limsup e^{-nh_top}P_n(f) > 0 が成り立つというA. Katokの予想を証明すること。
• 有限個の前像をもつマルコフ拡張とホルダー連続な符号化写像π_χを構築すること。

提案手法

• ペジン理論と非一様双曲性を用いて、局所的有限な可算マルコフ被覆を構成する。
• ペジンチャートとリャプノフ座標変換を用いて、双曲的点の近傍での力学を線形化する。
• 重複するチャートとε-鎖を定義し、グラフ変換のもとで適切な多様体を用いて軌道をモデル化する。
• ボーネン＝サイモンのリファインメントを適用し、記号的マルコフ性をもつ可算マルコフ分割を構成する。
• スケーリングおよびウィンドウパラメータを用いて、チャート系における動的ウィンドウのサイズと重複度を制御する。
• 有向グラフとホルダー連続な符号化写像π_χを用いて、有限対1のマルコフ拡張を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^1+β微分同相写像で位相的エントロピーが正であるような曲面に対して、最大エントロピーをもつ至高測度が高々可算個であるか？
• RQ2 C^∞曲面微分同相写像に対して、e^{-nh_top(f)}にn周期点の数をかけたもののlimsupが正の定数で下から有界であるか？
• RQ3 位相的エントロピーh_top(f)未満のエントロピーを持つ点の集合に対して、可算マルコフ分割を構成できるか？
• RQ4 各χ < h_top(f)に対して、全測度の集合上で有限個の前像をもつトップロジカルマルコフシフトへの半同型写像が可能か？
• RQ5 同じ軌道をシャドーイングする正規鎖は反復によって指数的に近づくか？

主な発見

• 任意の0 < χ < h_top(f)に対して、局所コンパクトなトポロジカルマルコフシフトΣ_χとホルダー連続写像π_χ: Σ_χ → Mが存在し、π_χ ∘ σ = f ∘ π_χを満たし、π_χ[Σ_χ^#]がχ-大集合である。
• 系は最大エントロピーをもつ至高不変確率測度を高々可算個もつ。Buzziの予想を確認した。
• 正のエントロピーをもつC^1+β微分同相写像で、最大エントロピー測度が存在するならば、liminf_{n→∞, p|n} e^{-nh_top(f)} P_n(f) > 0 が成り立つ。
• C^∞曲面微分同相写像に対して、周期点の数はlimsup_{n→∞} e^{-nh_top(f)} P_n(f) > 0 を満たす。Katokの予想を確認した。
• 同じ軌道をシャドーイングする正規鎖は反復によって指数的に近づき、距離はe^{-nχ/2}にサイズ比をかけた形で減少する。
• マルコフ拡張は有限対1であり、π_χの像に属する任意の点は有限個の前像をもつ。