[論文レビュー] Symbolic Dynamics, Modular Curves, and Bianchi IX Cosmologies

Yuri I. Manin, Matilde Marcolli|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$SU(2)$ 対称性をもつ Bianchi IX 宇宙論におけるカオス的 Mixmaster 動作と、連分数の記号的ダイナミクスを介したモジュラー曲面上の測地線流れとの間の幾何学的・力学的対応を提案する。$SU(2)$ 対称モデルにおける Kasner 時代を符号化する両側連分数のシフトダイナミクスが、Farey テッセレーションとの測地線の交差に対応することを示し、空間断片の非可換変形へと拡張し、ビッグバン近辺の量子重力効果とモジュラー幾何学および変形された 3 球面上のディラク作用素との関連を示す。

ABSTRACT

It is well known that the so called Bianchi IX spacetimes with SO(3)-symmetry in a neighbourhood of the Big Bang exhibit a chaotic behaviour of typical trajectories in the backward movement of time. This behaviour (Mixmaster Model of the Universe) can be encoded by the shift of two-sided continued fractions. Exactly the same shift encodes the sequences of intersections of hyperbolic geodesics with purely imaginary axis in the upper complex half-plane, that is geodesic flow on an appropriate modular surface. A physical interpretation of this coincidence was suggested in arXiv:1402.2158: namely, that Mixmaster chaos is an approximate description of the passage from a hot quantum Universe at the Big Bang moment to the cooling classical Universe. Here we discuss and elaborate this suggestion, looking at the Mixmaster Model from the perspective of the second class of Bianchi IX spacetimes: those with SU(2)-symmetry (self-dual Einstein metrics). We also extend it to the more general context related to Painleve' VI equations.

研究の動機と目的

• $SU(2)$ 対称性をもつ Bianchi IX 時空におけるカオス的ダイナミクスとモジュラー面上の測地線流れとの関係を調査すること。
• $SO(3)$ 対称性をもつ Mixmaster モデルにおける連分数の記号的ダイナミクスを、$SU(2)$ 対称性をもつ重力インスタントンへと拡張すること。
• 逆 Wick 回転を複素上半平面で行うことで、ビッグバン近辺における量子から古典への遷移を媒介する近似的な古典的記述として Mixmaster カオスを解釈すること。
• $\theta$-変形を用いた空間断片の非可換変形を研究し、ディラク作用素およびホフスタッターのバタフライ構造との関係を明らかにすること。
• 上半平面内の測地線パスと $SU(2)$ 対称モデルにおける Kasner 時代の系列との間の対応を確立すること。

提案手法

• 両側連分数を用いて、$SU(2)$ 対称性をもつ Bianchi IX モデルにおける Kasner 時代のシフトダイナミクスを符号化する。
• $[0,1]^2$ 上の変換 $\widetilde{T}$ を用い、連分数係数のシフトをモデル化し、不変密度 $\frac{dx\,dy}{\ln 2 \cdot (1+xy)^2}$ を得る。
• $SU(2)$ 対称時空のダイナミクスを、複素上半平面内の測地線に写像し、時間は逆 Wick 回転によって虚軸から実軸へと進化する。
• 非可換トーラスの $\theta$-変形を用いて、変形された $S^3$ 空間断片上のディラク作用素を構成し、$\theta$ を宇宙論的時間 $\mu$ の関数とする。
• 測地線が Farey テッセレーションの辺と交差する順序が、Mixmaster ダイナミクスにおける Kasner 時代の順序に正確に対応することを示す。
• ディラク作用素を $D = \gamma^0 \frac{1}{uw} \left( \frac{\partial}{\partial\mu} + \frac{3}{2}H \right) + D_B$ の形に導出する。ここで $H$ は非等方的ハッブルパラメータであり、$D_B$ はベルジャー 3 球面上のディラク作用素である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $SU(2)$ 対称性をもつ Bianchi IX 時空におけるカオス的挙動が、モジュラー面上の測地線流れと関係しているか。
• RQ2 $SO(3)$ 場合における両側連分数の記号的ダイナミクスは、時間の複素化によって $SU(2)$ 場合へと拡張可能か。
• RQ3 逆 Wick 回転は、ビッグバン近辺の量子重力効果と古典的宇宙論的ダイナミクスを結ぶ役割を果たすか。
• RQ4 時間 $\mu$ に依存する $\theta(\mu)$ でパrameter化された空間断片の非可換変形は、量子的から古典的挙動への遷移をどのように反映するか。
• RQ5 測地線の交差と Kasner 時代の系列との間の対応の幾何学的・力学的意義は何か。

主な発見

• 両側連分数のシフトダイナミクスは、上半平面のモジュラー商上の測地線流れと同型であり、$SO(3)$ 場合と同一の記号的ダイナミクスを示す。
• 測地線が Farey テッセレーションの辺と交差する順序は、$SU(2)$ 対称性をもつ Bianchi IX モデルにおける Kasner 時代の順序に正確に対応する。
• 変形された $S^3$ 空間断片上のディラク作用素は $D = \gamma^0 \frac{1}{uw} \left( \frac{\partial}{\partial\mu} + \frac{3}{2}H \right) + D_B$ で与えられ、ここで $H = \frac{1}{3} \left( \frac{\dot{w}}{w} + \frac{1}{2} \frac{\dot{w_1}}{w_1} \right)$ である。
• 非可換性パrameter $\theta$ が時間 $\mu$ に依存する場合、系はホフスタッターのバタフライ構造に類似した構造を示し、有理数 $\theta$ はモリタ同倣に、無理数 $\theta$ は真の非可換性に対応する。
• 上半平面内の測地線パスは、空間断片に関連する非可換トーラス $T^2_\theta$ 上に複素構造の族を誘導し、ダイナミクスと非可換幾何学を結びつける。
• 物理的解釈として、Mixmaster カオスは、量子遷移の古典的近似として生じる。時間は虚軸（量子領域）から実軸（古典領域）へと進化し、モジュラー商がダイナミクスを符号化する。