[論文レビュー] Symbolic extensions for partially hyperbolic diffeomorphisms

Lorenzo J. Díaz, Todd Fisher|ArXiv.org|Jun 11, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、1次元中心バンドルを有する部分的双曲的微分同相写像が、漸近的h-拡張性を用いて主記号的拡張を有することを確立する。逆に、非双曲的で安定的に軌道的である集合を有するC¹一般の微分同相写像で、中心バンドルの次元が2以上である場合には、恒続的ホモクラインねじれと不変測度におけるエントロピー増加のため、記号的拡張を有しないことを証明する。

ABSTRACT

We show that every partially hyperbolic diffeomorphism with a 1-dimensional center bundle has a principal symbolic extension. On the other hand, we show there are no symbolic extensions $C^1$-generically among diffeomorphisms containing non-hyperbolic robustly transitive sets with center indecomposable bundle of dimension at least 2.

研究の動機と目的

• 非双曲的系において記号的拡張が存在する動的条件を特定すること。
• 中心バンドルの次元と正則性が記号的拡張の存在に与える役割を調査すること。
• 1次元中心バンドルを有する部分的双曲的微分同相写像に対して主記号的拡張の存在を確立すること。
• 非双曲的で安定的に軌道的である集合と中心バンドル次元≥2を有するC¹一般の微分同相写像に対して、記号的拡張が存在しないことを証明すること。
• 恒続的ホモクラインねじれとエントロピー増加が記号的拡張の失敗に与える影響を結びつけること。

提案手法

• ボイル、フィービッグル、ミシュエレツの先行結果に基づき、漸近的h-拡張性を主記号的拡張の十分条件として用いる。
• ブツィの結果（C∞微分同相写像は漸近的h-拡張性を有する）を応用し、1次元中心バンドルの場合の存在を確立する。
• 分割に従属する双曲的基本集合の構成を用いて、不変測度におけるエントロピー増加を分析する。
• 摂動技法を用いて、通常双曲的表面に二次的ホモクラインねじれを生成し、問題を2次元力学系に還元する。
• エントロピー構造および測度論的エントロピーの理論を応用し、トポロジカルエントロピーと分割エントロピーの差が正の閾値を超えることを示す。
• C¹位相における残渣的集合と一般性の議論を用いて、次元が2以上の中心バンドルに対して非存在性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元中心バンドルを有する部分的双曲的微分同相写像が主記号的拡張を有する条件は何か？
• RQ2 非双曲的で安定的に軌道的である集合と中心バンドル次元≥2を有するC¹一般の微分同相写像に対して、記号的拡張が存在するか？
• RQ3 恒続的ホモクラインねじれは、微分同相写像における記号的拡張の存在にどのように影響するか？
• RQ4 周期軌道に関連するエルゴード測度におけるエントロピー増加は、記号的拡張の障害にどのように寄与するか？
• RQ5 中心バンドルの次元が、記号的拡張の存在または非存在をどの程度決定づけるか？

主な発見

• 1次元中心バンドルを有する任意の部分的双曲的微分同相写像は漸近的h-拡張性を有し、したがって主記号的拡張を有する。
• 非双曲的で安定的に軌道的である集合と次元が2以上の中心バンドルを有するC¹一般の微分同相写像は、記号的拡張を有しない。
• 非存在性の結果は、不変測度におけるエントロピー増加を引き起こす恒続的ホモクラインねじれに起因する。
• 各々のこのような一般の微分同相写像に対して、正の閾値 ρ₀ = χr+1(g,U)/2 が存在し、トポロジカルエントロピーと分割エントロピーの差の上極限が ρ₀ を超える。
• 周期的双曲的基本集合 Λ(q,n) が構成され、そのエルゴード測度は周期的測度の弱∗-極限であり、hνn(g) > (n−1)/n · χr+1(q) を満たす。
• これらの測度に対して、分割 αk₀ のエントロピーは0である。これにより、エントロピー差が閾値 ρ₀ を超え、記号的拡張に必要な条件を満たさなくなる。