[論文レビュー] Symbolic Graph Networks for Robust PDE Discovery from Noisy Sparse Data

Xingyu Chen, Junxiu An+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2026

Model Reduction and Neural Networks被引用数 0

ひとこと要約

SGNはグラフニューラルネットワークとシンボリック回帰を組み合わせて、ノイズのある疎なデータからPDEを頑健に発見し、解釈可能な非局所的PDEモデルを提供します。高ノイズ・データ疎性下で強力なベースラインを上回ります。

ABSTRACT

Data-driven discovery of partial differential equations (PDEs) offers a promising paradigm for uncovering governing physical laws from observational data. However, in practical scenarios, measurements are often contaminated by noise and limited by sparse sampling, which poses significant challenges to existing approaches based on numerical differentiation or integral formulations. In this work, we propose a Symbolic Graph Network (SGN) framework for PDE discovery under noisy and sparse conditions. Instead of relying on local differential approximations, SGN leverages graph message passing to model spatial interactions, providing a non-local representation that is less sensitive to high frequency noise. Based on this representation, the learned latent features are further processed by a symbolic regression module to extract interpretable mathematical expressions. We evaluate the proposed method on several benchmark systems, including the wave equation, convection-diffusion equation, and incompressible Navier-Stokes equations. Experimental results show that SGN can recover meaningful governing relations or solution forms under varying noise levels, and demonstrates improved robustness compared to baseline methods in sparse and noisy settings. These results suggest that combining graph-based representations with symbolic regression provides a viable direction for robust data-driven discovery of physical laws from imperfect observations. The code is available at https://github.com/CXY0112/SGN

研究の動機と目的

• データがノイズを含み疎なサンプリングである場合の頑健なPDE発見を動機づける。
• PDE学習のためのメッシュフリーで非局所的な空間演算子表現を提案する。
• 学習した特徴量から解釈可能な支配方程式を抽出するためにシンボリック回帰を統合する。
• 波動方程式・対流拡散・ナビエ–ストokes系に対して頑健性と解釈性を示す。

提案手法

• 空間グラフ上のメッセージパッシングで空間演算子を表現し、非局所積分演算子を形成する。
• 学習された演算子を一対一のメッセージ関数と更新関数の組に分解してシンボリック回帰の探索空間を削減する。
• Savitzky–Golay に基づくウォームスタートと適応ノイズ注入でトレーニングを安定化させる。
• PySRシンボリック回帰を用いてメッセージと更新則の閉形式表現を発見し、それらを最終PDEとして組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノード間が網目状でないフレームワークは、ノイズが多く疎なデータから頑健な非局所的空間演算子を学習できるか。
• RQ2 潜在的な SGN 表現からシンボリック回帰は解釈可能な支配方程式を回復できるか。
• RQ3 SGNは代表的なPDE（波動、対流拡散、ナビエ–ストokes）に対して、異なるノイズレベルとデータ疎性の下でどのように性能を示すか。

主な発見

• SGNはノイズとデータ疎性が増加しても、支配関係の定性的・定量的回復を一貫して頑健に達成する。
• 波動方程式において、SGNは高精度で解析解 form u = sin(πx) sin(πy) cos(t) を発見し、0.2%ノイズでも優れた精度を示すのに対し、PDE-Net 2.0 は高ノイズで失敗しNaNになる傾向がある。
• SGNは粗い格子で局所微分ベースの手法がノイズ増幅と切り捨て誤差のため失敗するのに対して、PDE-Net 2.0に比べて安定性が有利である。
• 対流–拡散およびナビエ–ストークス系について、意味のある物理的関係と解を回復でき、シンボリック表現は基礎となるダイナミクスを反映する。
• 補助的な安定化（S-Gウォームスタートとノイズ適応トレーニング）は、タスク間でSGNの頑健な性能を維持するのに役立つ。