[論文レビュー] Symbolic powers versus regular powers of ideals of general points in P^1 x P^1

Elena Guardo, Brian Harbourne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の一般点を定義するイデアルの記号的冪と通常冪の関係を調査し、漸近的不変量 $\gamma(I)$ を計算し、記号的冪と通常冪が一致する条件を特定する。ビグレードヒルベルト関数と数値的基準を用いて、$s$ 個の一般点に対して $I^m = I^{(m)}$ が成り立つのは $s = 1,2,3,$ または $5$ の場合に限ることを示す。$s \leq 8$ の場合の $\gamma(I)$ の明示的値と、$s \geq 9$ の場合の上限・下限を提示する。主な貢献は、これらのイデアルに対して記号的冪と通常冪が等しくなる条件を完全に分類したことである。

ABSTRACT

Recent work of Ein-Lazarsfeld-Smith and Hochster-Huneke raised the problem of which symbolic powers of an ideal are contained in a given ordinary power of the ideal. Bocci-Harbourne developed methods to address this problem, which involve asymptotic numerical characters of symbolic powers of the ideals. Most of the work done up to now has been done for ideals defining 0-dimensional subschemes of projective space. Here we focus on certain subschemes given by a union of lines in ${\bf P}^3$ which can also be viewed as points in ${\bf P}^1 imes {\bf P}^1$. We also obtain results on the closely related problem, studied by Hochster and by Li-Swanson, of determining situations for which each symbolic power of an ideal is an ordinary power.

研究の動機と目的

• 一般点 $s$ 個の定義イデアルの記号的冪と通常冪がすべての $m \geq 1$ で一致する条件を特定すること。
• $s$ 個の一般点のイデアルに対して、漸近的不変量 $\gamma(I) = \lim_{m \to \infty} \alpha(I^{(m)})/m$ を計算すること。
• 通常冪への記号的冪の包含関係に関する既存の数値的基準を、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ のビグレード設定に拡張すること。
• $s \geq 4$ および $s \geq 6$ の場合に記号的冪と通常冪が一致しない理由を分析すること。

提案手法

• $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上のイデアルの同次成分の次元を分析するためにビグレードヒルベルト関数を用いる。
• 点が1次一般位置にある場合に $\dim((I^{(2)})_{(i,j)})$ を計算するために、補題3.2.3を適用する。
• 特に $(3, q_1 + q_2)$ のビデグリーにおいて、$I^2$ と $I^{(2)}$ の次元を比較し、不等号の存在を検出する。
• $(I^2)_{(3,q_1+q_2)}$ の次元を上から抑えるために、$I^2$ を同次成分の積に分解する。
• $s = 2q_1 + r_1 = 3q_2 + r_2$ の関係を用いて、$\gamma(I)$ と次元の差を $q_1, q_2, r_1, r_2$ の関数として表現する。
• 点のイデアルが $\mathbb{P}^3$ 上の直線に対応することと、既知の記号的冪に関する結果を活用し、問題をより幾何学的な設定に再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の一般点 $s$ 個に対して、すべての $m \geq 1$ で記号的冪と通常冪が一致するのはどの $s$ の場合か？
• RQ2 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の $s$ 個の一般点のイデアル $I$ に対して $\gamma(I)$ の値は何か？ そして $s$ と共にどのように変化するか？
• RQ3 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の $s$ 個の一般点のイデアル $I$ に対して $I^{(2)} \neq I^2$ となるのはどの $s$ の場合か？
• RQ4 特定のビデグリーにおける次元比較によって、$I^2$ と $I^{(2)}$ の差を検出できるか？
• RQ5 点が1次一般位置にあることは、ヒルベルト関数および記号的冪と通常冪の比較にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $s=1$ のとき $\gamma(I) = 1$；$s=2,3$ のとき $\gamma(I) = 2$；$s=4$ のとき $\gamma(I) = 8/3$；$s=5$ のとき $\gamma(I) = 3$；$s=6$ のとき $\gamma(I) = 24/7$；$s=7$ のとき $\gamma(I) = 56/15$；$s=8$ のとき $\gamma(I) = 4$。
• $s \geq 9$ のとき、$\gamma(I)$ は不等式 $\sqrt{s} - 1 < \gamma(I) \leq \sqrt{2s}$ を満たす。
• $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の一般点 $s$ 個のイデアル $I$ に対して、すべての $m \geq 1$ で記号的冪と通常冪が等しくなるのは $s = 1,2,3,$ または $5$ の場合に限る。$s=4$ および $s \geq 6$ のとき $I^{(m)} \neq I^m$ である。
• $s \geq 7$ のとき、$(3, q_1 + q_2)$ のビデグリーにおいて次元を比較することで $I^{(2)} \neq I^2$ であることが示される。具体的には $\dim(I^{(2)})_{(3,q_1+q_2)} > \dim((I^2)_{(3,q_1+q_2)})$ が成り立つ。
• $s=6$ の場合、$\alpha(I) = 4$ より $\alpha(I^2) = 8$ だが、$\alpha(I^{(2)}) \leq 7$ であるため、直接計算により $I^{(2)} \neq I^2$ が確認される。このことから $I^2 \subsetneq I^{(2)}$ が導かれる。
• $s \geq 7$ の証明はヒルベルト関数と補題3.2.3の次元公式に依拠しており、$\dim(I^{(2)})_{(3,q_1+q_2)} = q_2 + 4 - 2r_1 - r_2 > (2 - r_1)(3 - r_2) \geq \dim((I^2)_{(3,q_1+q_2)})$ が成り立つことを示している。