[論文レビュー] Symmetric categorial grammar: residuation and galois connections

Michael Moortgat|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2010

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ラムベック＝グリシン計算に、単調な剰余演算子とは対照的に反単調なガロア接続付き演算子を追加することで、対称的カテゴリー文法を提示する。これは分配則を負の演算子を含む形に一般化し、継続渡しスタイルの翻訳を提供することで、文法的双対性の言語的モデリングを強化する。

ABSTRACT

The Lambek-Grishin calculus is a symmetric extension of the Lambek calculus: in addition to the residuated family of product, left and right division operations of Lambek's original calculus, one also considers a family of coproduct, right and left difference operations, related to the former by an arrow-reversing duality. Communication between the two families is implemented in terms of linear distributivity principles. The aim of this paper is to complement the symmetry between (dual) residuated type-forming operations with an orthogonal opposition that contrasts residuated and Galois connected operations. Whereas the (dual) residuated operations are monotone, the Galois connected operations (and their duals) are antitone. We discuss the algebraic properties of the (dual) Galois connected operations, and generalize the (co)product distributivity principles to include the negative operations. We give a continuation-passing-style translation for the new type-forming operations, and discuss some linguistic applications.

研究の動機と目的

• 剰余（単調）演算子とガロア接続（反単調）型形成演算子の間の直交的双対性を導入することで、ラムベック＝グリシン計算を拡張すること。
• 対称的カテゴリー枠組み内でのガロア接続付き演算子の代数的性質とその双対を形式化すること。
• 線形分配則を、差分や余積といった負の演算子を含む形に一般化すること。
• 新しい型形成演算子の計算的解釈を支援する継続渡しスタイルの翻訳を開発すること。
• 拡張された計算体系が、双対性と否定を含む文法的現象をどのようにモデルできるかを示すこと。

提案手法

• 元々の単調な剰余演算子とは対照的に、反単調な演算子のペア（差分と余積）を導入する。
• 矢印反転双対性原理を用いて、剰余演算子とガロア接続付き演算子の間の代数的双対性を確立する。
• 積／余積と除算／差分の間の相互作用を含むように、線形分配則を一般化する。
• 複雑な型を制御構造にマップする継続渡しスタイルの翻訳を定義し、型の動的性質を保持する。
• 代数的意味論を用いて、拡張された計算体系の整合性と双対性を検証する。
• 言語的例にこの体系を適用し、文法的否定と双対性を扱う際の表現力の高さを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反単調な演算子は、単調な剰余演算子と併せて、どのように体系的に対称的カテゴリー文法に統合できるか？
• RQ2 型形成演算子の文脈において、ガロア接続付き演算子とその双対が満たす代数的性質は何か？
• RQ3 分配則は、差分や余積といった負の演算子を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ4 拡張された計算体系の計算的解釈は何か？ そして、継続渡しスタイルの翻訳によってどのように実現できるか？
• RQ5 ガロア接続付き演算子の導入により、従来の剰余系とは対照的に、どのような言語的現象がより適切に形式化可能になるか？

主な発見

• ガロア接続付き演算子は反単調であり、ラムベック＝グリシン計算における単調な剰余演算子の正式な双対を提供する。
• 拡張された計算体系は、積、余積、除算、差分の間の相互作用を統一する一般化された分配則をサポートする。
• 継続渡しスタイルの翻訳は、新しい型形成演算子を効果的に符号化し、複雑な文法的型の計算的解釈を可能にする。
• 代数的枠組みにより、剰余演算子とガロア接続付き演算子の間の双対性が、提案された双対性原理のもとで保持される。
• 言語的応用の結果、この体系は、元のラムベック計算よりも、否定と双対性を含む現象をより自然にモデル化できる。
• 対称的拡張により、特に否定的および双対的構造のモデル化において、よりバランスの取れて包括的な型論理文法の形式的体系が得られる。