[論文レビュー] Symmetric cones, the Hilbert and Thompson metrics

Aurélien Bosché|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド的ジョルダン代数を用いて、対称錐上のヒルベルト計量およびトムプソン計量の等長群を完全に分類している。自動同型は常に等長であるが、追加の等長が存在するのは、ランク1の錐、R²における正の四分位数、および次元≥3の非可約ローレンツ錐に限られ、その場合、単位元における測地的反転が線形自己同型によって誘導されない等長であることが示されている。

ABSTRACT

Symmetric cones can be endowed with at least two interesting non Riemannian metrics: the Hilbert and the Thompson metrics. It is trivial that the linear maps preserving the cone are isometries for those two metrics. Oddly enough those are not the only isometries in general. We give here a full description of the isometry groups for both the Hilbert and the Thompson metrics using essentially the theory of euclidean Jordan algebras. Those results were already proved for the symmetric cone of complexe positive hermitian matrices by L. Moln{á}r. In this paper however we do not make any assumption on the symmetric cone under scrutiny (it could be reducible and contain exceptional factors).

研究の動機と目的

• 対称錐上のヒルベルト計量およびトムプソン計量の完全な等長群を特定すること。
• 等長群が錐の自動同型群を厳密に超えるのはどのような場合かを特定すること。
• 複素正定値行列に関する先行研究を、可約および例外的ケースを含む一般の対称錐へと拡張すること。
• 測地的反転とその射影的性質が等長構造を決定する役割を分析すること。
• スペクトルノルムおよびトレースを保存する等長が、線形的かつジョルダンを保存する必要があるかどうかを検討すること。

提案手法

• 対称錐とユークリッド的ジョルダン代数の間の対応関係を用いて、計量の等長を分析する。
• ジョルダン代数の元のスペクトル分解を適用：$ x = \sum \lambda_i p_i $ に対して、固有値 $ \lambda_i $ が $ \exp(x) $、$ \text{Tr}(x) $、および $ \|x\| $ を決定する。
• トムプソン計量 $ d_T(P,Q) = \log \max(M(P,Q), M(Q,P)) $ とヒルベルト計量 $ d_H(P,Q) = \log(M(P,Q)M(Q,P)) $ を定義する。ここで $ M(P,Q) = \inf\{ t > 0 \mid tQ - P \in \mathcal{C} \} $ である。
• ジョルダン基底分解に基づいて測地的反転 $ u \mapsto u^{-1} $ の振る舞いを分析し、低ランクの場合にのみ射影的であることを示す。
• 反証法を用い、線分の収束を検証：反転が射影的であると仮定すると、$[e_1]$ に収束する列の逆列も同じ極限に収束するはずだが、実際にはそうではない。
• Mazur-Ulamの定理を用いて、$ \|\cdot\|_\sigma $ およびトレースを保存する等長が線形であることを導出し、分解 $ J = J_0 \oplus \mathbb{R}e $ におけるその作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト計量またはトムプソン計量の等長群が、対称錐の自動同型群を厳密に超えるのはいつか？
• RQ2 単位元における測地的反転が、ヒルベルト計量またはトムプソン計量の等長であるのはどのような条件下か？
• RQ3 ランク≥3の対称錐に対して、反転写像は射影的か？
• RQ4 スペクトル半ノルム $ \|\cdot\|_\sigma $ およびトレースを保存する等長は、必然的にジョルダン代数構造を保存するか？
• RQ5 同時に対角化可能なペアの保存は、計量不変性から自働的に導かれるのか、それとも別個に仮定されなければならないのか？

主な発見

• トムプソン計量の等長群が自動同型群 $ \text{Aut}(\mathcal{C}) $ と等しいのは、錐が半直線でも、R²における正の四分位数でも、次元≥3の非可約ローレンツ錐でもない場合に限る。
• ランク1の錐、R²における正の四分位数、および次元≥3の非可約ローレンツ錐では、単位元における測地的反転が、線形自己同型によって誘導されない等長である。
• ランク≥3の対称錐では反転が射影的でないことが、境界付近での逆列の線分収束の一致しないことから示されている。
• 反転写像は錐の境界に連続的に拡張できないため、等長が必ずしも位相的境界を保存するとは限らない。
• $ \|\cdot\|_\sigma $ およびトレースを保存する等長は、必然的に線形であり、分解 $ J = J_0 \oplus \mathbb{R}e $ を保存する。これは、それらがジョルダン同型であるか、または写像 $ (x_0, \lambda) \mapsto (-x_0, \lambda) $ を合成することでジョルダン同型になることを意味する。
• 同時に対角化可能なペアの保存は、計量不変性から自働的に導かれない。別個に仮定されたり、別個に導出されたりする必要がある。