[論文レビュー] Symmetric form of governing equations for capillary fluids

Sergey Gavrilyuk, Henri Gouin|ArXiv.org|Feb 12, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、密度勾配に依存する内部エネルギーを有する分散系に、古典的双曲性理論を拡張することで、毛細管流体のための新規な対称形式の支配方程式を提案する。この手法は、ヘルミート行列 $ B + iC $ を含む複素数の分散関係を導入し、実数の固有振動数を保証するとともに、定常解の安定性を証明する。主要な結果は、変分原理とエネルギー保存則を用いて、ラグランジュ的およびオイラー的枠組みの両方で導出される。

ABSTRACT

In classical continuum mechanics, quasi-linear systems of conservation laws can be symmetrized if they admit an additional convex conservation law. In particular, this implies the hyperbolicity of governing equations. For capillary fluids, the internal energy depends not only on the density but also on its derivatives with respect to space variables. Consequently, the governing equations belong to the class of dispersive systems. In that case we propose a symmetric form of governing equations which is different from the classical Godunov -Friedrichs - Lax representation. This new symmetric form implies the stability of constant solutions.

研究の動機と目的

• 毛細管性を有する流体において、内部エネルギーが密度勾配に依存する分散系に、対称的双曲性フレームワークを拡張すること。
• 毛細管性の存在下でも双曲性と定常解の安定性を保証する、支配方程式の対称形式を確立すること。
• アントイソメトリック行列 $ C $ を含む修正された分散関係を導出することにより、古典的 Godunov–Friedrichs–Lax 形式を一般化すること。
• オイラー的およびラグランジュ的表現の両方で、エネルギー保存則と線形化安定性を示すこと。

提案手法

• 毛細管流体のエネルギー汎関数 $ e = \varepsilon(\rho, \eta) + \frac{c}{2}|\nabla\rho|^2 $ を用いて、ハミルトニアンの原理から支配方程式を導出する。ここで $ c $ は毛細管係数である。
• $ \mathbf{w} = \nabla\rho $ を独立変数として扱うことで、拡張された保存則系を構築し、対称的双曲的構造を可能にする。
• 正定値行列 $ A $ と対称行列 $ B^i $ を用いた形式 $ A\partial_t\mathbf{v} + \sum_i B^i \partial_{x^i}\mathbf{v} = 0 $ として対称的双曲系を構築するが、複素分散関係 $ \det(B + iC - \lambda A) = 0 $ を含むように変更する。
• ラグランジュ座標を用いて、2階空間微分を含む1次元系を導出し、行列 $ A $, $ B_1 $, および $ C_1 $ を定義し、対称形式を構築する。
• ポisson括弧と変分微分を用いて、エネルギー保存則をフラックス発散の形で導出し、熱力学的一致性を保証する。
• 正定値行列 $ A $ とヘルミート行列 $ B + iC $ の性質により、修正された分散関係の固有値 $ \lambda $ が実数であることが示され、スペクトル安定性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部エネルギーが密度の空間勾配に依存する分散的毛細管流体に対して、古典的対称的双曲性フレームワークを拡張可能か？
• RQ2 毛細管性の導入により、Godunov–Friedrichs–Lax 表現とは異なる新たな対称形式が生じるか？
• RQ3 毛細管流体の分散関係の形は何か？ また、実数の振動数と定常解の安定性を保証するか？
• RQ4 対称的双曲的定式化において、エネルギー保存則はどのように維持されるか？
• RQ5 一般の内部エネルギー関数に対して、オイラー座標およびラグランジュ座標の両方で、対称形式を一貫して導出可能か？

主な発見

• 毛細管流体の支配方程式は、複素分散関係 $ \det(B + iC - \lambda A) = 0 $ を持つ対称的双曲的形をとる。ここで $ C $ は反対称で、実数の固有振動数を保証する。
• 行列 $ C $ は明示的に $ C = -\rho_e \begin{pmatrix} 0 & \mathbf{0}^* & \mathbf{0}^* \\ \mathbf{0} & \mathbf{O} & -\mathbf{kk}^* \\ \mathbf{0} & \mathbf{kk}^* & \mathbf{O} \end{pmatrix} $ と表され、$ \mathbf{O} $ は零行列である。
• 対称形式は、すべての $ \lambda $ が実数であるため、定常解の双曲性とスペクトル安定性を示す。これは、形 $ e^{i(\mathbf{k}^*\mathbf{x} - \lambda t)} $ の摂動に対して成立する。
• 1次元ラグランジュ表現では、系は $ A\partial_t\mathbf{v} + B_1\partial_z\mathbf{v} + C_1\partial_{zz}\mathbf{v} = 0 $ の形を取り、$ A $, $ B_1 $, および $ C_1 $ が明示的に定義され、分散関係は $ \det(kB_1 + k^2 C_1 - \lambda A) = 0 $ となる。
• エネルギー保存則は、$ (\cdots)_t + \mathrm{div}(\cdots) = 0 $ の形で維持され、フラックス項はポisson括弧に類似した構造を有する。
• 本手法は、内部エネルギーが密度の時間微分に依存する系、例えば気泡を含む液体などにも一般化可能であり、広範な応用可能性を示唆する。