[論文レビュー] Symmetric function generalizations of graph polynomials

Timothy Y. Chow|ArXiv.org|Mar 30, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 36被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、有向グラフのカバー多項式の対称関数への一般化であるパス・サイクル対称関数を導入し、スタンレーの彩色対称関数の枠組みを拡張する。これにより、チュンとグレアムの予想が確認され、有向グラフのカバー多項式がその補グラフのカバー多項式を決定することを示す組合せ的双対性定理を確立する。この結果は、ルーク理論とグラフ多項式の分野における散在する結果を統一する。

ABSTRACT

In Chapter 2 we study the path-cycle symmetric function of a digraph, a symmetric function generalization of Chung and Graham's cover polynomial. Most of this material appears in either Advances in Math. 118 (1996), 71-98 or J. Algebraic Combin. 10 (1999), 227-240. Chapter 3 contains miscellaneous results about Stanley's symmetric function generalization X_G of the chromatic polynomial, e.g., we establish a connection with some of Tutte's work on the chromatic polynomial and use this to prove that X_G is reconstructible. Most of Chapter 3 does not appear elsewhere.

研究の動機と目的

• 有向グラフのカバー多項式を、スタンレーの彩色対称関数に類似した対称関数へ一般化すること。
• ルーク多項式およびカバー多項式の理論を、対称関数の枠組みへ拡張すること。
• チュンとグレアムの予想、すなわち有向グラフのカバー多項式がその補グラフのカバー多項式を決定するか、という問題を解決すること。
• 二項係数の基底 $\left\{\binom{x+k}{d}\right\}_{k=0}^{d}$ を一般化する新しい対称関数基底を定義すること。
• 彩色対称関数、順序型集合の構造、およびグラフ再構成問題との関係を調査すること。

提案手法

• 有向グラフ $D$ に対して、カバー多項式 $C(D)$ の対称関数一般化としてパス・サイクル対称関数 $\Xi_D$ を定義する。
• $D$ の有向パスおよびサイクルの構造を用いて、辺集合上の重み付き和による生成関数を定義する。
• $L_G$ という縮約のラティス上でモービウス反転を適用し、$\Xi_D$ をプレーン和対称関数 $p_\sigma$ で表現する。
• 部分グラフ上の符号付き和の解析と辺部分集合のポセットにおける双対性を用いて、組合せ的双対性定理を確立する。
• スタンレーの彩色対称関数の枠組みを用い、$X_G(t)$ におけるパラメータ $t$ を含むように拡張する。
• 単色辺およびブロック構造の組合せ的解釈を用いて、プレーン和基底に関する展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフのカバー多項式は、その補グラフのカバー多項式を決定するか。（双対性により確認済み。）
• RQ2 カバー多項式は、スタンレーが彩色多項式を一般化したのと同様に、対称関数へ一般化可能か。
• RQ3 ${\binom{x+k}{d}}_{k=0}^{d}$ を一般化する対称関数基底の構造は何か。
• RQ4 彩色対称関数 $X_G$ は、グラフの性質（平面性や順序型集合の次元）をどの程度決定するか。
• RQ5 $X_G(t)$ におけるプレーン和対称関数の係数は、$G$ の部分グラフ構造とどのように関係するか。

主な発見

• パス・サイクル対称関数 $\Xi_D$ は、カバー多項式 $C(D)$ を対称関数へ一般化し、スタンレーの枠組みを有向グラフへ拡張する。
• 組合せ的双対性定理が証明され、有向グラフ $D$ のカバー多項式がその補グラフのカバー多項式を決定することを確認した。これはチュンとグレアムの予想を肯定的に解決する。
• $X_G(t) = \sum_{\kappa} (1+t)^{m(\kappa)} x^\kappa$ が $\sum_{S \subset E(G)} t^{|S|} p_{\lambda(S)}$ に等しいことが示された。ここで $\lambda(S)$ は辺集合 $S$ を成分のサイズで分割するものである。
• 森 $G$ に対して、$X_G(t)$ における各プレーン和 $p_\lambda$ の係数は、$t^{|V(G)| - \ell(\lambda)}$ という単項式となる。これは非巡回構造に起因する。
• 彩色対称関数 $X_G$ は、グラフが平面的かどうかを決定しない。反例として、$K_5$ の部分グラフを含む非平面的グラフと、同じ $X_G$ を持つ平面的グラフが存在する。
• 彩色対称関数 $X_G$ は、順序型集合の次元を決定しない。次元が 2 と 3 の順序型集合の非比較性グラフが同じ $X_G$ を持つことから明らかである。