[論文レビュー] Symmetric Groups and Expanders

Martin Kassabov|ArXiv.org|Mar 10, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、すべての十分に大きな $n$ に対して、Cayley図が展開子をなすような、交代群 $\text{Alt}(n)$ および対称群 $\text{Sym}(n)$ の明示的で有界次数の生成集合 $F_n$ と $\tilde{F}_n$ を構成する。主な結果は、Kazhdan定数に対する一様な下界の確立であり、これにより、有界次数かつ非消える拡張定数を持つ展開子が得られることを示している。

ABSTRACT

We construct an explicit generating sets $F_n$ and $ ilde F_n$ of the alternating and the symmetric groups, which make the Cayley graphs $C(Alt(n), F_n)$ and $C(Sym(n), ilde F_n)$ a family of bounded degree expanders for all sufficiently large $n$. These expanders have many applications in the theory of random walks on groups and other areas of mathematics.

研究の動機と目的

• $\text{Alt}(n)$ および $\text{Sym}(n)$ に対して、Cayley図が展開子をなすような明示的で一様に有界な生成集合を構成すること。
• これらの群におけるKazhdan定数に対する一様な下界を確立し、$n$ に依存しない拡張性を保証すること。
• 交代群が、他の有限単純群とは異なり、固定された数のアーベル部分群の積として書けないという困難を克服すること。
• 算術群（例：$\text{SL}_n(\bbZ)$）で知られている手法を、古典的意味での性質Tを持たない対称群および交代群へと拡張すること。
• Lubotzkyの予想である、すべての非アーベル有限単純群に対して、有界生成集合からなる展開子族が存在することを構成的に証明すること。

提案手法

• 対称群の表現論、特に分割に付随する既約成分への正則表現の分解を用いる。
• [21] からの対称群の正規化された特徴の境界を適用し、有界なサポートを持つ共轭類 $B$ に対して $|\bar{\rho}_\nu(B)|$ を推定する。
• $K^{5/4}$-組の関数空間への生成集合の作用を解析し、大きな集合 $E$ におけるランダムウォークの混合性を用いてスペクトルギャップを制御する。
• $\text{Alt}(N)$-作用が $K^{5/4}$-組に誘導する表現 $M$ に由来するマコフ作用素 $\rho_2(g)$ を定義し、8ステップ後に $\rho_2(g)$ が $>1/2$ のスペクトルギャップを持つことを示す。
• $\text{Alt}(N)$-表現に関する推定とスペクトルギャップの制御を組み合わせ、ユニタリ表現における任意の非ゼロベクトルが生成元の作用で大きくノルムを取ることを示し、これにより一様なKazhdan定数が得られることを示す。
• $\text{Alt}(n)$ が指数的に増加する $n_s = (2^{3s}-1)^6$ に対して、$\text{Alt}(n_s)$ の有界個数のコピーの積として書けることを利用し、生成集合の帰納的構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\text{Alt}(n)$ および $\text{Sym}(n)$ に対して、すべての十分に大きな $n$ に対してCayley図が展開子をなすような明示的で有界次数の生成集合を構成できるか？
• RQ2 こうした生成集合に関して、対称群および交代群におけるKazhdan定数の最良の下界は何か？
• RQ3 古典的意味での性質Tが欠如しているにもかかわらず、Cayley図のスペクトルギャップがゼロから一様に離れているか？
• RQ4 $\text{SL}_n(\bbZ)$ に用いられる表現論的アプローチを、線型でなく、アーベル部分群による有界生成を持たない対称群へとどのように適応できるか？
• RQ5 生成集合をすべての対合（involution）のみで構成することは可能か？その最小サイズは何か？

主な発見

• 本稿は、すべての十分に大きな $n$ に対して、Cayley図 $\text{C}(\text{Alt}(n), F_n)$ および $\text{C}(\text{Sym}(n), \tilde{F}_n)$ が有界次数の展開子をなすような明示的生成集合 $F_n \to \text{Alt}(n)$ および $\tilde{F}_n \to \text{Sym}(n)$ を構成する。
• Kazhdan定数 $\fancyscript{K}(\text{Alt}(n); F_n)$ に対して一様な下界 $\boxed{\frac{1}{10^6}}$ が確立され、これにより一様なスペクトルギャップと拡張性が保証される。
• 十分に大きな $n$ に対して、サイズ10の生成集合 $\bar{F}_n$ が存在し、すべての元が対合であるとし、$\fancyscript{K}(\text{Alt}(n); \bar{F}_n) \to 10^{-8}$ となる。これにより、下界が改善され、対合に基づく構成が保証される。
• 生成集合の帰納的構成を可能にするために、$\text{Alt}(n)$ が指数的に増加する $n_s = (2^{3s}-1)^6$ に対して、$\text{Alt}(n_s)$ のコピーの $<10^9$ 個の積として表現可能であるという事実を活用している。
• 本手法により、サイズが $10^{10}$ 未満の生成集合 $F_n$ が得られ、$\fancyscript{K}(\text{Alt}(n); F_n) \to 10^{-15}$ となる。これにより、非消える拡張定数を持つ有界次数の展開子の存在が確認される。
• 証明技法は、類似の表現論的およびスペクトルギャップの議論により、対称群に対しても拡張可能であり、対応する生成集合に対して $\fancyscript{K}(\text{Sym}(n); \tilde{F}_n) \to 10^{-15}$ が成立する。