[論文レビュー] Symmetric Homology of Algebras

Shaun V. Ault, Fiedorowicz, Zbigniew|ArXiv.org|Aug 11, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、交差単体的群の枠組みを用いて、巡回ホモロジーの類似物として代数の対称ホモロジーを導入する。巡回群の代わりに対称群を用いることで、対称ホモロジーを定義し、対称バーバリエーションとTor函手を用いてΔS上のk-加群の圏において定式化する。基礎的なスペクトル系列を確立し、自然な写像を通じて巡回ホモロジーと関連づける。主な結果として、HS₀(A) = A/[A,A] であり、低次の階層での明示的なチェーンレベル記述が得られる。

ABSTRACT

In this note, we outline the general development of a theory of symmetric homology of algebras, an analog of cyclic homology where the cyclic groups are replaced by symmetric groups. This theory is developed using the framework of crossed simplicial groups and the homological algebra of module-valued functors. The symmetric homology of group algebras is related to stable homotopy theory. Two spectral sequences for computing symmetric homology are constructed. The relation to cyclic homology is discussed and some conjectures and questions towards further work are discussed.

研究の動機と目的

• 巡回ホモロジーの類似物として、代数のホモロジー理論を、巡回群の代わりに対称群を用いて構築すること。
• 特に、対称集合の圏ΔSを用いた、交差単体的群の枠組みによるホモロジー的フレームワークを確立すること。
• k[ΔS]上のホモロジー代数を用いて、対称バーバリエーションとTor函手を用いて対称ホモロジーを定義し、巡回ホモロジーの構成を一般化すること。
• 対称ホモロジーを安定ホモトピー理論や巡回ホモロジーと関連づけ、計算に用いるスペクトル系列を構成すること。
• 低次の階層における対称ホモロジーの明示的なチェーンレベル記述を提供し、さらなる構造的性質を予想すること。

提案手法

• アソシエイティブ・オペラッドからピラシヴィリのオペラッド的枠組みを用いて構成された、射の逆像に順序が付与された集合の圏ΔSを用いる。
• 対称バーバリエーション B^sym A: ΔS → k-加群を定義し、[n] に対して A^⊗(n+1) を割り当て、射はファイバー上の順序付き積によって作用する。
• 関手値加群のホモロジー代数を適用し、対称ホモロジーを Tor^ΔS_*(k̲, B^sym A) として計算する。ここで k̲ はkへの定数関手である。
• 対称群の次数によるフィルトレーションとΔSのスケルタルフィルトレーションを用いて、対称ホモロジーを計算する2つのスペクトル系列を構成する。
• ΔSが基底となる対称群Σ_{n+1}を有する交差単体的群であることを利用し、k[ΔS]上での標準的ホモロジー代数の適用を可能にする。
• ヴレチチャ＝ジヴァレヴィッチの連結性定理を用いて、k[ΔS]上での定数関手k̲の有限射影的分解を構成し、次数に制御を加える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回ホモロジーは、ホモロジー的枠組みにおいて巡回群の代わりに対称群を用いることでどのように一般化可能か？
• RQ2 代数的構造の性質と関連して、代数の対称ホモロジーの構造はどのようなものか？
• RQ3 対称ホモロジーを計算するためのスペクトル系列を構成可能か？ また、その収束性はどのような性質を示すか？
• RQ4 対称ホモロジーと巡回ホモロジーの関係は何か？ それらの間の自然な写像の性質は何か？
• RQ5 低次の階層における対称ホモロジーの明示的なチェーンレベル記述は何か？ また、それは代数の代数的対称化をどのように反映しているか？

主な発見

• HS₀(A) は A/[A,A] に同型であり、これはAのアーベル化を表しており、対称ホモロジーが代数のアーベル化を捉えていることを確認する。
• 1次では、A⊗A⊗A と (A⊗A⊗A⊗A)⊕A を項とする部分チェーン複体のホモロジーであり、明示的な微分は積と巡回置換を含む。
• HC*(A) → HS*(A) の写像は、関手 b̲ から定数関手 k̲ への自然変換によって誘導され、巡回ホモロジーが対称ホモロジーの商であるという事実を反映している。
• 対称バーバリエーションはΔS上で反変関手から共変関手へ拡張可能であり、これにより対称ホモロジーがTorを用いて定義可能となる。これは、巡回バーバリエーションが反変関手であるのとは対照的である。
• 圏ΔSはアソシエイティブ・オペラッドの作用素の圏として実現可能であり、対称バーバリエーションの概念的基盤を提供する。
• 定数関手k̲ は、ヴレチチャ＝ジヴァレヴィッチの連結性定理により、k[ΔS]上で有限射影的分解を有し、次数iにおいて m ≤ (3/2)(i+1) のP_mが射影的である。