[論文レビュー] Symmetric Jordan-Wigner transformation in higher dimensions

Hoi Chun Po|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2021

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、高次元の4次元格子上のスピン1/2フェルミオンに対して、ユニタリおよび非ユニタリなすべてのグローバルな対称性をボソン側で保存する対称的ジョルダン・ウィグナー変換を提示する。ゲージ不変な構成と非局所的ストリングを用いてフェルミオン演算子をスピン1/2自由度に写像することで、ハーバード模型やt-J模型などのモデルの正確なボソン化を可能にするとともに、明示的な局所性と対称性構造を維持する。

ABSTRACT

The Jordan-Wigner transformation is traditionally applied to one dimensional systems, but recent works have generalized the transformation to fermionic lattice systems in higher dimensions while keeping locality manifest. These developments could aid the theoretical or even experimental studies of strongly correlated electronic problems through their bosonic counterparts. In this work, we develop a scheme for higher-dimensional Jordan-Wigner transformation which keeps all relevant symmetries manifest on the bosonic side. Our approach connects the discussion of exact lattice bosonization to the familiar notions of fractionalized partons like spinons and chargeons, and works for spin-$1/2$ fermions -- like the physical electrons -- on four-coordinated lattices. The construction is applied to fermions defined on the square, kagome and diamond lattices, and we provide explicit expressions for the bosonized versions of well-known models of strongly correlated electrons, like the Hubbard and $t$-$J$ models.

研究の動機と目的

• ボソン側ですべての関連対称性（ユニタリ、非ユニタリ、空間対称性）を保存する高次元ジョルダン・ウィグナー変換を開発すること。
• 従来のジョルダン・ウィグナー写像を1次元を超えて拡張しつつ、明示的な局所性と正確な統計的変換を維持すること。
• 格子ボソン化と強相関電子系における分数量子数（スピンオンやチャージオンなど）の部分粒子像を結びつけること。
• 正方格子、カグラ格子、ダイアモンド格子におけるスピン1/2フェルミオンに対する明示的かつ対称性を保存する写像を提供すること。
• フェルミオン模型を等価なボソンハミルトニアンに変換することで、対称性内容を保持したまま、偏りのない数値的・量子シミュレーションを可能にすること。

提案手法

• 各ユニットセルに最小限のリンク集合を用いてゲージ不変なジョルダン・ウィグナー・ストリングを構築し、非局所的位相因子によってフェルミオンの反交換関係を保証する。
• 基準サイトからの経路に沿ってスピン1/2演算子（または部分粒子）の積としてボソン化されたフェルミオン演算子を定義し、ストリング因子によって正しい統計が保証されるようにする。
• 一般化されたループ数え上げ法を用いて、インシデント行列 ∂(k) の核空間を特定し、独立したゲージ制約とトポロジカルセクターの数を求める。
• 4次元格子（正方格子、カグラ格子、ダイアモンド格子）にこの構成を適用し、格子幾何学とゲージ不変性を満たすように特定のリンク配置を割り当てる。
• ストリング演算子の変換性を分析することで、内部対称性（U(1)電荷、SU(2)スピン、時間反転、粒子・ホール対称性）および空間対称性が保存されることを検証する。
• 各格子におけるハーバード模型とt-J模型のボソン化形を明示的に導出し、ハミルトニアンが対称群の下で局所的かつ対称的のまま保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてジョルダン・ウィグナー変換を高次元に一般化し、ボソン側でユニタリ、非ユニタリ、空間対称性のすべてを保存できるか？
• RQ2 ゲージ場と任意粒子的ストリングは、高次元フェルミオン系における正確な統計的変換を可能にする役割を果たすか？
• RQ3 トポロジカルセクターとウィルスンループは、2次元および3次元格子におけるジョルダン・ウィグナー・ストリングの構造にどのような制約を課えるか？
• RQ4 この構成を正方格子、カグラ格子、ダイアモンド格子といった4次元格子に体系的に適用可能か？その結果得られるボソン化ハミルトニアンの対称性は何か？
• RQ5 ボソン化記述は、元のフェルミオン系の物理的量子数と対称性内容をどの程度正確に保持するか？

主な発見

• 提案された対称的ジョルダン・ウィグナー変換は、ボソン側でU(1)電荷、SU(2)スピン、時間反転、粒子・ホール対称性のすべてを保存し、正確な対称性分解能シミュレーションを可能にする。
• 正方格子では、3×6のインシデント行列 ∂(k) が得られ、一般のkでは3つの独立核ベクトルを持つが、k=0では線形依存性により4つに減少する。
• カグラ格子では、∂(k)の核空間は一般に2次元であり、4つの独立ループ演算子を持つ。k=0では縮退により核空間次元が4に増加する。
• ダイアモンド格子では、インシデント行列 ∂(k) は2×4であり、核空間は一般に2次元で、4つのループ演算子が2つの線形関係を満たし、3つの非自明なウィルスンループを含む2L³+1個の生成子を持つ。
• この構成により、これらの格子上でのスピンありハーバード模型とt-J模型が、すべての物理的対称性と局所性を保持した等価なボソンハミルトニアンに正確に写像される。
• この方法により、格子ボソン化と部分粒子像の間の直接的な接続が確立され、ボソン的記述において分数量子数（スピンオンやチャージオンなど）が明示的に現れる。