[論文レビュー] Symmetric measures of pseudorandomness for binary sequences

Yixin Ren, Arne Winterhof|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2026

Coding theory and cryptography被引用数 0

ひとこと要約

この論文は、二進法系列に対する対称版と通常版の2つの古典的な疑似乱数性指標（2進数の2-adic性と線形複雑度）を比較し、対称性がいくつかの設定で指標を低下させる可能性を示し、境界と不変性の結果を提供する。

ABSTRACT

We compare ordinary and symmetric variants of two classical measures of pseudorandomness for binary sequences, the $2$-adic complexity and the linear complexity. In the periodic setting, we show that for binary periodic sequences constructed from the binary expansions of non-palindromic primes, the symmetric $2$-adic complexity can be strictly smaller than the ordinary $2$-adic complexity. We also give a direct proof (of the known result) that the linear complexity of a periodic binary sequence is invariant under reversal, and hence coincides with its symmetric version. In the aperiodic setting, we provide explicit families of finite binary sequences for which both the $N$th symmetric 2-adic complexity and the $N$th symmetric linear complexity are substantially smaller than their ordinary counterparts. Furthermore, we show that the expected values of the $N$th rational complexity and of the $N$th exponential linear complexity exceed those of their symmetric analogues by at least a term of order of magnitude $N$. Thus, the effect of symmetrization is clearly visible on an exponential scale. We also establish lower bounds for the expected values of the symmetric rational complexity, symmetric $2$-adic complexity, symmetric linear complexity, and symmetric exponential linear complexity.

研究の動機と目的

• 対称化が二進法系列の既知の疑似乱数性指標にどのような影響を与えるか理解する動機づけ。
• 対称的な2-adic性と対称的な線形複雑度の周期的・非周期的設定の両方を調査。
• 対称版と通常版を比較するexplicitな構成と理論結果を提供。
• 対称的複雑度指標の不変性特性と下界を確立。

提案手法

• 二進法系列に対する対称版と通常版の2-adic複雑度と線形複雑度を比較。
• 周期的設定で、非回文素数の二進展開から得られる系列を用いて対称的および通常の2-adic複雑度を比較。
• 周期的な二進法系列の線形複雑度は reversal に対して不変であり、従って対称版と等しくなることを証明。
• 非周期的設定で、対称的な2-adic複雑度と対称的線形複雑度が通常の対応より著しく小さくなる明示的有限二進系列を構築。
• 対称的対 ordinary の有理的・指数的線形複雑度の期待値を導出・議論し、対称版の下界を提供。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的設定における二進法系列について、対称版の2-adicおよび線形複雑度は通常版とどのように異なるか。
• RQ2 復元（ reversal ）による線形複雑度の不変性など、既知の不変性特性が対称版にも拡張されるか。
• RQ3 非周期的設定で、対称複雑度は通常のものと比べて依然として小さいか、どの程度小さくなるか。
• RQ4 対称版と通常版の有理・指数・線形複雑度の漸近的または期待値関係はどうなるか。
• RQ5 対称版のこれらの指標に対してどのような下界が確立できるか。

主な発見

• 対称的2-adic複雑度は、非回文素数から作られた周期的二進法系列に対して通常の2-adic複雑度より厳密に小さくなり得る。
• 周期的な二進法系列の線形複雑度は reversal に対して不変であり、従って対称版と等しくなる。
• 非周期的設定において、対称的なNth 2-adic複雑度および対称的なNth 線形複雑度が通常の対応より著しく小さくなる明示的な有限二進系列が存在する。
• Nth 有理的複雑度およびNth 指数的線形複雑度の期待値は対称類似体よりも少なくとも N の次数の項だけ大きく超えることを示しており、指数スケールで対称性の優位性が顕著である。
• 対称的有理・対称的2-adic・対称的線形・対称的指数線形複雑度の期待値に対する下界が確立されている。