[論文レビュー] Symmetric Monopoles

N. S. Manton, Michael K. Murray|ArXiv.org|Jul 18, 1994

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、任意の電荷kを持つ対称的SU(2)ボゴモルニ単極子を調査し、原点に中心を持ち全位相が1である「強く中心化された単極子」という概念を導入する。これらはk単極子モジュライ空間内に、次元4k−4の完全測地的かつハイパーカイラー部分多様体をなす。本稿では、巡回群Ckの対称性をもつ単極子が、平面衝突やl-および(k−l)-単極子クラスタの反対方向放出を含む、新しい測地的散乱過程を生じることを確立している。スカイアーマン系のダイナミクスとの類似性により、正多面体対称性をもつ単極子に関する予想が支持されている。

ABSTRACT

We discuss the spectral curves and rational maps associated with $SU(2)$ Bogomolny monopoles of arbitrary charge $k$. We describe the effect on the rational maps of inverting monopoles in the plane with respect to which the rational maps are defined, and discuss the monopoles invariant under such inversion. We define the strongly centred monopoles, and show they form a geodesic submanifold of the $k$-monopole moduli space. The space of strongly centred $k$-monopoles invariant under the cyclic group of rotations about a fixed axis, $C_k$, is shown to consist of several surfaces of revolution, generalizing the two surfaces obtained by Atiyah and Hitchin in the 2-monopole case. Geodesics on these surfaces give a novel type of $k$-monopole scattering. We present a number of curves in $TP_1$ which we conjecture are the spectral curves of monopoles with the symmetries of a regular solid. These conjectures are based on analogies with Skyrmions.

研究の動機と目的

• 対称的k-単極子、特に平面に関する反転および軸周りの巡回回転に対して不変なものを特徴づけること。
• モジュライ空間の等長群の全対称性に関して不変である「強く中心化された単極子」の定義と、その幾何的・力学的性質の研究。
• 巡回および多面体的対称性をもつ単極子に対応するk-単極子モジュライ空間内の測地的部分多様体を同定すること。
• スペクトル曲線を用いて、単極子散乱ダイナミクスと有理写像の間の対応を確立すること。
• 正多面体対称性（正四面体、正八面体、正二十面体）をもつk-単極子の存在を、スカイアーマン系との類似性に基づいて予想すること。

提案手法

• 本稿は、CP¹の接バンドルTP₁におけるスペクトル曲線を用いてk-単極子を特徴づけ、単極子解と整合するように制約を課す。
• 原点に中心があり、全位相が1であることを要件として「強く中心化された単極子」の概念を導入し、次元4k−4の完全測地的部分多様体を定義する。
• 単極子の対称性平面に関する反転における有理写像の変換を分析し、このような反転に関して不変な単極子の条件を導出する。
• Ck対称性をもつ単極子に対しては、モジュライ空間が回転面に分解され、それらを用いて新しい測地的散乱経路を構成する。
• 本稿は、特定のTP₁内の曲線が巡回および多面体的対称性をもつ場合、実際に単極子のスペクトル曲線に対応すると予想する。これはスカイアーマン系の配置との類似性に基づく。
• 特にB=3およびB=4のスカイアーマン系において同様の対称性が現れることに注目し、対称的単極子の存在を支持する類似性を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面に関する反転に対して不変な単極子に対応するスペクトル曲線および有理写像にどのような条件が課されるか。
• RQ2 有理写像は反転操作でどのように変化するのか。また、この操作に関して不変となる単極子はどのように特徴づけられるか。
• RQ3 強く中心化されたk-単極子のモジュライ空間の正確な幾何的・力学的構造は何か。
• RQ4 Ck対称性をもつk-単極子に対して測地的散乱過程を構築可能か。それらの様子はどのようなものか。
• RQ5 正多面体（正四面体、正八面体、正二十面体）の対称性をもつTP₁内のスペクトル曲線が、実際にk-単極子解に対応するものがあるだろうか。

主な発見

• 強く中心化されたk-単極子の空間は、全k-単極子モジュライ空間Mk内に、次元4k−4の完全測地的かつハイパーカイラー部分多様体をなす。
• 平面に関する反転に対して不変な単極子は、有理写像およびスペクトル曲線に特定の対称性条件を満たすことで特徴づけられる。
• Ck対称性をもつ単極子では、モジュライ空間が複数の回転面に分解され、それぞれが異なる測地的散乱過程の族をパラメトライズする。
• これらの回転面上での測地的運動により、新しいk-単極子散乱過程が得られる：k個の単極子が同時に平面衝突すると、対称軸に沿ってl-単極子クラスタと(k−l)-単極子クラスタが反対方向に放出される。
• 本稿は、cが実数でdがcに関して対称である形の曲線(6.26)が、特にc=0のとき正八面体対称性をもつ単極子を記述すると予想する。
• 特にB=3の正四面体型およびB=4の正八面体型のスカイアーマン系と類似する点に着目し、正多面体対称性をもつk-単極子の存在を支持する。ただし、まだそのような単極子は明示的に構成されていない。