[論文レビュー] Symmetric Morse potential is exactly solvable

Ryu Sasaki|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、標準的なモースポテンシャルの右半分を鏡像にし、貼り合わせることで構築された対称的モースポテンシャルが、無限個の束縛状態を持つ厳密に可解な量子力学的系をもたらすことを示している。固有値は、Whittaker W関数およびその微分の純虚数零点の二乗であり、特殊関数のスペクトル的性質を通じてヒルベルト＝ポリア予想を探索する新しいモデルを提供する。

ABSTRACT

Morse potential $V_M(x)= g^2\exp (2x)-g(2h+1)\exp(x)$ is defined on the full line, $-\infty

研究の動機と目的

• 全実数直線上で定義されたモースポテンシャルの鏡像対称版の厳密可解性を確立すること。
• Whittaker関数を用いて、対称的モースポテンシャルの完全な固有系（固有値および固有関数）を導出すること。
• この系の離散スペクトルとリーマン・ゼータ関数の非自明な零点の純虚数零点との関係を調査し、ヒルベルト＝ポリア予想に関連付けること。
• CrumおよびKrein-Adler変換が、制御された固有状態を持つ変形ハミルトニアンを生成する役割を調査すること。
• Whittaker関数の零点およびその微分に基づく固有関数の直交関係を提示すること。

提案手法

• 元のモースポテンシャルの右半分とその鏡像を組み合わせることで得られる $ V(x) = g^2 e^{2|x|} - g(2h+1)e^{|x|} $ として、対称的モースポテンシャルを構築する。
• Whittaker関数 $ W_{k, u}(x) $ を用いてシュレーディンガー方程式を解き、固有関数を $ W_{k,i ilde{ u}}( ho) $ の形に表す。ここで $ \rho = 2g e^{|x|} $ である。
• 波動関数の自己共役性と物理的整合性を保つために、$ x = 0 $ における整合性条件および有限ノルム条件を課す。
• 固有値を、固定された $ k $ および $ g $ に対して $ \nu $ の関数とみなした $ W_{k\nu}(2g) $ 及びその微分 $ W'_{k\nu}(2g) $ の純虚数零点 $ \nu_j = i\tilde{\nu}_j $ の二乗として特定する。
• Wronskiアン行列式を用いて固有関数の直交関係を導出し、偶数パリティ状態および奇数パリティ状態の両方に適用する。
• CrumおよびKrein-Adler変換を用いて、ノルムの正の制約の下で特定の固有状態を削除することで、変形ハミルトニアンを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的モースポテンシャルは厳密に解けるか？ その固有スペクトルの構造は？
• RQ2 対称的モースポテンシャルの固有値は、Whittaker関数およびその微分の零点とどのように関係しているか？
• RQ3 Whittaker関数は、区分的解析的ポテンシャルにおいて無限個の離散スペクトルを持つ束縛状態を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 CrumおよびKrein-Adler変換は、この系のスペクトルおよび固有関数にどのように影響を与えるか？
• RQ5 この系は、リーマン・ゼータ関数の非自明な零点に関連するヒルベルト＝ポリア予想の物理的実現またはモデルとして機能できるか？

主な発見

• 対称的モースポテンシャルは無限個の離散的束縛状態を支持し、固有関数は $ \rho = 2g e^{|x|} $ を用いて $ W_{k,i\tilde{\nu}}(\rho) $ として与えられる。
• 固有値は $ E_n = \nu_n^2 $ であり、ここで $ \nu_n $ は固定された $ k $ および $ g $ に対して $ \nu $ の関数とみなした $ W_{k,\nu}(2g) $ 及びその微分 $ W'_{k,\nu}(2g) $ の純虚数零点である。
• Whittaker関数およびその微分の零点は交互に配置されている：$ 0 < \frac{x}{2} < \nu_0 < \nu_1 < \nu_2 < \nu_3 < \nu_4 < \nu_5 < \nu_6 < \nu_7 < \nu_8 < \nu_9 < \nu_{10} < \nu_{11} < \nu_{12} < \nu_{13} < \nu_{14} < \nu_{15} < \nu_{16} < \nu_{17} < \nu_{18} < \nu_{19} < \nu_{20} $、ここで $ \nu_{2j} = i\tilde{\nu}_j $、$ \nu_{2j+1} = i\tilde{\nu}'_j $ である。
• Wronskiアン行列式を用いて、偶数パリティおよび奇数パリティ状態の両方に別個の形で直交関係を確立し、元の系および変形ハミルトニアン系の両方に成立する。
• 大規模な $ n $ に対する固有値 $ \nu_n $ の漸近的分布は、WKB近似またはボーア＝ソルマーfeld条件から導かれ、$ \nu_n $、$ g $、$ k $ を含む特定の積分方程式に帰着する。
• CrumおよびKrein-Adler変換を用いて生成された変形ハミルトニアンは、ノルムの正の制約の下で有限個の固有状態を削除でき、精密なスペクトルフィッティングが可能であり、ヒルベルト＝ポリア予想への応用が有望である。