[論文レビュー] Symmetric Orbifolds and Entanglement Entropy for Primary Excitations in Two Dimensional CFT

Amir Esmaeil Mosaffa|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元CFTにおける一次元区間のエンタングルメントエントロピー（EE）を、対称オルビフォールディング技術を用いて、一次元演算子で励起された状態で計算している。$S_n$-ねじれ演算子を用いてレプリカトリックを被覆空間に写像することで、Rényiエントロピーを$2n$-点関数として閉形式で得ており、$n \to 1$極限でのEEを導出し、小角度極限において先行研究と整合することを確認している。

ABSTRACT

We use the techniques in symmetric orbifolding to calculate the Entanglement Entropy of a single interval in a two dimensional conformal field theory on a circle which is excited to a pure highest weight state. This is achieved by calculating the Reney Entropy which is found in terms of a 2n-point function of primary operators, n being the replica number.

研究の動機と目的

• 2次元共形場理論（CFT）において一次元区間のエンタングルメントエントロピー（EE）を、一次元演算子で励起された状態で計算すること。
• 従来、基底状態に用いられていた対称オルビフォールディング技術を、最高重量一次元演算子を有する励起純粋状態へと拡張すること。
• 被覆空間上のねじれ演算子を用いた場の理論的導出により、Rényiエントロピーを$2n$-点関数として得ることで、ホログラフィック解釈を可能にすること。
• 小角度（$\theta \ll 2\pi$）極限において、AlcarazらおよびBerganzaらの先行結果と整合することを確立すること。
• 励起CFT状態におけるEEのホログラフィック双対記述を、バルク場配置を介して構築すること。

提案手法

• Rényiエントロピー $S_A^{(n)} = \frac{1}{1-n} \ln \text{Tr}(\rho_A^n)$ を計算するためのレプリカトリックを適用し、問題を被覆空間上での一次元演算子の$2n$-点関数に写像する。
• レプリカ多様体 $\mathcal{R}_n$ の特異な幾何を解消するために、対称オルビフォールディングを用い、標的空間の場を$n$個のコピーにし、ねじれ演算子による$S_n$-ねじれ境界条件を導入する。
• 元の$t$-平面から被覆空間$\mathcal{M}_C$への座標変換を構築し、分岐点を滑らかにする共形写像を用いることで、滑らかな多様体上の経路積分を可能にする。
• $\langle \prod_{k=0}^{n-1} \mathcal{O}(t_k) \tilde{\mathcal{O}}(t_k') \rangle_t$ の$2n$-点関数を、一次元演算子の共形次元$h, \bar{h}$およびOPE係数を用いて評価する。
• Rényiエントロピーを $\mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) = \left( \delta^n \frac{2^{n-1}}{\hat{\delta}} \frac{\sin^{n-1}(\theta/2)}{n^{n+1}} \right)^{2(h+\bar{h})} \times \frac{\langle \prod \mathcal{O}(t_k) \tilde{\mathcal{O}}(t_k') \rangle_t}{\langle \mathcal{O}(0) \tilde{\mathcal{O}}(\infty) \rangle_z^n}$ として導出し、一般の$n$に対して有効である。
• エンタングルメントエントロピーを$S_{\mathcal{O}}(\theta) = S_{GS}(\theta) - \partial_n \mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) \big|_{n=1}$ として$n \to 1$極限をとり、$\text{Tr}\, \rho_{\mathcal{O}}(\theta) = 1$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元CFTにおける一次元区間のエンタングルメントエントロピーは、一次元演算子で励起された系においてどのように変化するか？
• RQ2 従来、基底状態に適用されていた対称オルビフォールディング技術を、励起純粋状態におけるRényiエントロピーおよびエンタングルメントエントロピーの計算に一般化できるか？
• RQ3 ねじれ場および一次元演算子の$2n$-点関数として、Rényiエントロピーの明確な場の理論的表現は何か？
• RQ4 得られたRényiエントロピーは小角度極限（$\theta \ll 2\pi$）においてどのように振る舞い、他の手法による既知の結果と一致するか？
• RQ5 特に、励起状態に対応するバルク幾何と双対場を用いた場合、場の理論的結果のホログラフィック解釈は何か？

主な発見

• 一次元区間の2次元CFTにおけるRényiエントロピーは、被覆空間上での$2n$-点関数として導出され、$\mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) = \left( \delta^n \frac{2^{n-1}}{\hat{\delta}} \frac{\sin^{n-1}(\theta/2)}{n^{n+1}} \right)^{2(h+\bar{h})} \times \frac{\langle \prod_{k=0}^{n-1} \mathcal{O}(t_k) \tilde{\mathcal{O}}(t_k') \rangle_t}{\langle \mathcal{O}(0) \tilde{\mathcal{O}}(\infty) \rangle_z^n}$ として得られる。
• 小角度極限（$\theta \ll 2\pi$）において、Rényiエントロピーは $\mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) = 1 + \frac{h+\bar{h}}{3}\left(\frac{1}{n} - n\right)\left(\frac{\theta}{2}\right)^2 + O(\theta^{\Delta+\bar{\Delta}})$ に簡略化され、Alcarazら（2011年）の結果と一致する。
• エンタングルメントエントロピーは $S_{\mathcal{O}}(\theta) = S_{GS}(\theta) - \partial_n \mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) \big|_{n=1}$ として得られ、$\text{Tr}\, \rho_{\mathcal{O}}(\theta) = 1$ を満たす。これにより、励起状態が基底状態のEEに補正項を寄与することが示される。
• $s$-写像を用いて円筒座標系に再表現すると、$\mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) = n^{-2n(h+\bar{h})} \frac{\langle \prod_{k=0}^{n-1} \mathcal{O}(\frac{\theta+2\pi k}{n}) \tilde{\mathcal{O}}(\frac{2\pi k}{n}) \rangle_{cy}}{\langle \mathcal{O}(\theta) \tilde{\mathcal{O}}(0) \rangle_{cy}^n}$ が得られ、AlcarazおよびBerganzaの結果と整合することが確認される。
• 本手法は、励起状態におけるEEのホログラフィック双対のための場の理論的フレームワークを提供し、AdSにおけるバルク場がCFT一次元状態の励起に対応することを示唆する。
• 対称オルビフォールディング技術は励起状態へと自然に一般化され、非基底状態におけるEE計算の新たな道筋を提供し、将来的なバルク幾何双対の探求を可能にする。