[論文レビュー] Symmetric polynomials and divided differences in formulas of intersection theory

Piotr Pragacz|ArXiv.org|May 28, 1996

Mathematics and Applications被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、対称多項式と差分商を用いた包括的な枠組みを構築し、代数的交線論における明示的公式を導出する。チャーン類およびセグレ類、退化局所、ギジン写像に関する新しい証明と公式を提示し、主な貢献としてシュールQ多項式の押し出しに関する新規な公式と、シュール複体を用いたギアムベリ＝トーム＝ポルトゥーソの公式の新規な導出が含まれる。

ABSTRACT

The goal of the paper is two-fold. At first, we attempt to give a survey of some recent applications of symmetric polynomials and divided differences to intersection theory. We discuss: polynomials universally supported on degeneracy loci; some explicit formulas for the Chern and Segre classes of Schur bundles with applications to enumerative geometry; flag degeneracy loci; fundamental classes, diagonals and Gysin maps; intersection rings of G/P and formulas for isotropic degeneracy loci; numerically positive polynomials for ample vector bundles. Apart of surveyed results, the paper contains also some new results as well as some new proofs of earlier ones: how to compute the fundamental class of a subvariety from the class of the diagonal of the ambient space; how to compute the class of the relative diagonal using Gysin maps; a new formula for pushing forward Schur's Q- polynomials in Grassmannian bundles; a new formula for the total Chern class of a Schur bundle; another proof of Schubert's and Giambelli's enumeration of complete quadrics; an operator proof of the Jacobi-Trudi formula; a Schur complex proof of the Giambelli-Thom-Porteous formula.

研究の動機と目的

• 対称多項式と差分商の最近の交線論への応用を体系化すること。
• 組合せ幾何学におけるシュールバンドルのチャーン類およびセグレ類の明示的公式を提供すること。
• フラッグ空間および等光的退化局所における基本的クラスおよび対角クラスを計算するための新規な手法を開発すること。
• G/P空間の交線環におけるシューベルト計算および正則性に関する既存の結果を統一・拡張すること。
• ジャコビ＝トゥルディの恒等式およびギアムベリ＝トーム＝ポルトゥーソの公式を含む、新しい証明と公式を提示すること。

提案手法

• 退化局所上のクラスを構成するための普遍的道具として対称多項式を用いる。
• 差分作用素を用いて、周囲空間における基本的クラスおよび対角クラスを計算する。
• シュール複体を用いて、作用素論的手法によりギアムベリ＝トーム＝ポルトゥーソの公式を導出する。
• グラスマンバンドルにおけるシュールQ多項式の押し出しに関する新規な公式を導入する。
• ファイバー構成における相対的対角クラスを計算するためにギジン写像を適用する。
• 作用素的手法を用いて、ジャコビ＝トゥルディの公式のような古典的恒等式を再証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称多項式と差分商を、交線的不変量を計算するために体系的に応用する方法は何か？
• RQ2 対称多項式技法を用いた場合、シュールバンドルの全チャーン類に対してどのような新規な公式が得られるか？
• RQ3 周囲空間の対角クラスから、部分多様体の基本的クラスをどのように再構成できるか？
• RQ4 シュール複体は、ギアムベリ＝トーム＝ポルトゥーソの公式を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ5 作用素論的手法により、ジャコビ＝トゥルディの公式のような古典的恒等式の新しい証明が得られるか？

主な発見

• グラスマンバンドルにおけるシュールQ多項式の押し出しに関する新規な公式が導出され、シューベルト計算における既知の結果が拡張された。
• シュールバンドルの全チャーン類に関する新規な公式が提示され、特徴類に対する対称多項式的アプローチが提供された。
• ギジン写像を用いて、周囲空間の対角クラスから部分多様体の基本的クラスが計算された。
• シュール複体に基づくギアムベリ＝トーム＝ポルトゥーソの公式の証明が与えられ、新しい幾何的解釈が得られた。
• 作用素論的証明により、ジャコビ＝トゥルディの公式が確立され、対称関数と交線論との関連が明確にされた。
• 対称関数の恒等式を用いて、シューベルトおよびギアムベリの公式による完全二次曲面の列挙についての別証明が提供された。