[論文レビュー] Symmetric polynomials vanishing on the diagonals shifted by roots of unity

Boris Feigin, M. Jimbo+3 more|ArXiv.org|Sep 11, 2002

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$k+1$ と $r-1$ が互いに素であるとき、単位根でシフトされた対角上に消える対称多項式の性質を特徴づける。$r-1$-スリムな分割と許容可能な分割を用いたマクドナルド多項式により、明示的な基底を構成し、$b_n^{(k)}(v^{r-1})$ とスリム分割の母関数を含む積公式を通じて、その空間のキャラクターを導出する。

ABSTRACT

For a pair of positive integers (k,r) with r>1 such that k+1 and r-1 are relatively prime, we describe the space of symmetric polynomials in variables x_1,...,x_n which vanish at all diagonals of codimension k of the form x_i=tq^{s_i}x_{i-1}, i=2,...,k+1, where t and q are primitive roots of unity of orders k+1 and r-1.

研究の動機と目的

• $n$ 変数の対称多項式の空間を記述し、$t$ と $q$ がそれぞれ $k+1$ と $r-1$ 次の原始単位根であるとき、$x_i = t q^{s_i} x_{i-1}$ の形の対角上で消えるものとする。
• $(k+1, r-1) = 1$ の条件下で、この空間に対する明示的な基底を構成すること。
• このような対称多項式の空間のキャラクター $\chi_{k,r}(z,v)$ を計算すること。
• ジャック極限を介して、$W_k$ 代数の最小系列 $(k+1, k+r)$ の表現論と消える条件の関係を確立すること。
• [FJMM2] の一般的 $u$-ケースの結果を、$u$ が $(k+1)(r-1)$ 次の原始単位根である単位根設定に一般化すること。

提案手法

• 単位根 $t$, $q$ を用いて $t^{k+1} = 1$, $q^{r-1} = 1$ となるように、$\mathcal{S}_{r-1}(q,t) = \{t, tq, \dots, tq^{r-2}\}$ を定義する。
• マクドナルド多項式 $P_\lambda(x;q,t)$ を用い、$q = u^{-(k+1)}$, $t = u^{r-1}$ とし、$u$ を $(k+1)(r-1)$ 次の原始単位根とする。
• $r-1$-スリムな分割の概念を導入する：各部が高々 $r-1$ 回しか現れない分割。
• $F_n^{(k,r)}$ を、$x_2 = t x_1, \dots, x_{k+1} = t q^{k} x_k$, $x_1 = t q^{k} x_{k+1}$ を満たすすべての $k+1$-組で消える対称多項式の空間と定義する。ここで $t^{k+1} = 1$, $q^{r-1} = 1$ である。
• 関数を $F_n^{(k,2)}$ から $F_n^{(k,r)}$ に $f_\lambda = \mathcal{F}(\tilde{f}_\lambda)$ を用いて持ち上げるためのフロベニウス準同型 $\mathcal{F}$ を適用する。
• マクドナルド作用素 $D_n(X;q,\tilde{t})$ を用いて、変換の下で消える条件が保たれることを確認し、固有値分離法により基底を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(k+1, r-1) = 1$ のとき、単位根でシフトされた対角上で消える対称多項式の空間の構造は何か？
• RQ2 マクドナルド多項式を用いて、この空間に対する明示的な基底をどのように構成できるか？
• RQ3 空間 $F^{(k,r)}$ のキャラクター $\chi_{k,r}(z,v)$ は何か？
• RQ4 単位根ケースは、[FJMM2] の一般的 $u$-ケースとどのように異なるか、特に消える平面や共鳴条件の観点から。
• RQ5 この空間と、$W_k$ 代数最小系列 $(k+1, k+r)$ に関連する頂点 operator 代数におけるアーベル型電流の相関関数との関係は何か？

主な発見

• $F_n^{(k,r)}$ における対称多項式の空間は、$f_\lambda$ が $F_n^{(k,2)}$ の基底元で、$g_\mu$ が $\mu$ が $r-1$-スリムな分割であるマクドナルド多項式であるような積 $f_\lambda g_\mu$ の基底を持つ。
• キャラクター $\chi_{k,r}(z,v)$ は、$\sum_{n=0}^\infty \left( b_n^{(k)}(v^{r-1}) \prod_{s=1}^n \frac{1 - v^{s(r-1)}}{1 - v^s} \right) z^n$ で与えられ、ここで $b_n^{(k)}(v)$ は $k$-許容分割の母関数である。
• 基底の構成はフロベニウス準同型 $\mathcal{F}$ に依存し、$f_\lambda = \mathcal{F}(\tilde{f}_\lambda)$ を用いて $F_n^{(k,2)}$ から $F_n^{(k,r)}$ に関数を持ち上げる。
• マクドナルド作用素 $D_n(X;q,\tilde{t})$ の作用の下で、消える条件が保たれ、これにより異なる $\lambda$ に対して固有値分離法が成り立つ。
• $F_n^{(k,r)}$ は $k$-許容分割の空間と $r-1$-スリム分割の空間のテンソル積と同型であり、キャラクターは母関数の積として与えられる。
• ジャック極限 $u \to 1$ において、空間 $F^{(k,r)}$ はパラメータ $\beta = -(r-1)/(k+1)$ のジャック多項式に対応し、$W_k$ 代数最小系列 $(k+1, k+r)$ のアーベル型電流の相関関数と一致すると予想される。